Question

Даны действительные числа x и y, удовлетворяющие уравнениям x^3 -3xy^2 =46, y^3-3x^2y =9 Значение выражения x^2 +y^2 равно ...

Answer 1

$begin{cases} & text{ } x^3-3xy^2=46 \ & text{ } y^3-3x^2y=9 end{cases},,, Rightarrow begin{cases} & text{ } x^3-3xy^2-46=0 \ & text{ } y^3-3x^2y-9=0 end{cases}$
Следующая система эквивалентна предыдущей системе:
$begin{cases} & text{ } 9(x^3-3xy^2-46)-46(y^3-3x^2y-9)=0 \ & text{ } y^3-3x^2y-9=0 end{cases}\ \ begin{cases} & text{ } 9x^3-27xy^2+138x^2y-46y^3 =0 \ & text{ } y^3-3x^2y-9=0 end{cases}$
Упростим первое уравнение.
$9x^3-27xy^2+138x^2y-46y^3=0|:y^3\ \ 9cdotbigg( dfrac{x}{y} bigg)^3-27cdot dfrac{x}{y} +138cdot bigg( dfrac{x}{y} bigg)^2-46=0$

Пусть $dfrac{x}{y} =t$, тогда имеем:
$9t^3+138t^2-27t-46=0$
Разложим на множители:
$9t^3-6t^2+144t^2-96t+69t-46=0\ 3t^2(3t-2)+48t(3t-2)+23(3t-2)=0\ (3t-2)(3t^2+48t+23)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю
$3t-2=0,,,,,, Rightarrow,,, t= dfrac{2}{3}$
$3t^2+48t+23=0\ D=b^2-4ac=48^2-4cdot3cdot 23=2028$
$D textgreater 0$, значит квадратное уравнение имеет 2 корня:
$t= dfrac{-bpm sqrt{D} }{2a} = dfrac{-48pm sqrt{2028} }{2cdot 3} = dfrac{-48pm26 sqrt{3} }{2cdot 3} = dfrac{-24pm13 sqrt{26} }{3}$

Поскольку по условию $x,y,, in,, mathbb{R}$, то нам можно решить только одну систему

$begin{cases} & text{ } dfrac{x}{y}= dfrac{2}{3} \ & text{ } y^3-3x^2y-9=0 end{cases}Rightarrowbegin{cases} & text{ } x= dfrac{2y}{3} \ & text{ } y^3-3cdot dfrac{4y^2}{9}cdot y-9=0 end{cases}\ \ 3y^3-4y^3-27=0\ y=-3\ x= dfrac{2cdot(-3)}{3} =-2$

Найдем значение: $x^2+y^2=(-2)^2+(-3)^2=4+9=13$


Ответ: $13.$