Question

У рівнобедренному трикутнику основа дорівнює 16, а бічна сторона - 10. Обчислити відстань між центрами вписаного і описаного кіл.

Answer 1

Δ $ABC-$ равнобедренный
$w(r; O_2) -$ окружность, вписанная в Δ $ABC$
$w(R;O_1)-$  окружность, описанная около Δ $ABC$
$AC=16$
$AB=BC=10$
$O_1O_2-$ ?

Δ $ABC$ - равнобедренный
$AB=BC=10$
$BK$ ⊥ $AC$
$BK-$ высота, а значит и медиана
$AK=KC=8$
$S=pr$
$S_{ABC}= frac{abc}{4R}$
$p= frac{a+b+c}{2}$
$p= frac{AB+BC+AC}{2}= frac{10+10+16}{2}=18$
$S_{ABC}= frac{1}{2} BK*AC$
По теореме Пифагора найдем BK:
$BK^2=AB^2-AK^2$
$BK^2=10^2-8^2$
$BK^2=36$
$BK=6$
$S_{ABC}= frac{1}{2} *6*16=48$
$r= frac{S_{ABC}}{p}$
$r= frac{48}{18}= frac{8}{3} =2 frac{2}{3}$

$frac{10*10*16}{4R} =48$
$frac{400}{R} =48$
$R= frac{400}{48} = frac{25}{3}=8 frac{1}{3}$

Расстояние $d$ между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника можно найти по формуле: 
$d^2=R^2-2Rr$
$d=O_1O_2$
$(O_1O_2)^2=(8 frac{1}{3})^2 -2*8 frac{1}{3}*2 frac{2}{3}$
$(O_1O_2)^2=( frac{25}{3})^2 -2* frac{25}{3}* frac{8}{3}$
$(O_1O_2)^2= frac{625}{9} - frac{400}{9}$
$(O_1O_2)^2= frac{225}{9}$
$O_1O_2= frac{15}{3} =5$

Ответ: 5