Question

Помогите пожалуйста решить уравнение , не понимаю какие преобразования нужно сделать.

Answer 1

$dfrac{10x}{(x+1)(x+4)} + dfrac{9x}{(x+2)^2} =2$

ОДЗ: $begin{cases} & text{ } x+1 ne 0 \ & text{ } x+4ne 0 \ & text{ } x+2ne 0 end{cases}Rightarrowbegin{cases} & text{ } xne -1 \ & text{ } xne -4 \ & text{ } xne -2 end{cases}$

Домножим обе части уравнения на $(x+1)(x+4)(x+2)^2$

$10x(x+2)^2+9x(x+1)(x+4)=2(x+2)^2(x+1)(x+4)\ \ 10x(x^2+4x+4)+9x(x^2+5x+4)-2(x^2+4x+4)(x^2+5x+4)=0$

Разделим обе части уравнения на $x^2$, получаем:

$10bigg( x+dfrac{4}{x}+4 bigg)+9bigg(x+ dfrac{4}{x} +5bigg)-2bigg( x+dfrac{4}{x}+4 bigg)bigg( x+dfrac{4}{x}+5 bigg)=0$

Пусть $bigg( x+dfrac{4}{x} bigg)=t$, тогда исходное уравнение будет иметь такое уравнение:
$10(t+4)+9(t+5)-2(t+4)(t+5)=0\ 10t+40+9t+45-2t^2-18t-40=0\ 2t^2-t-45=0$
Вычислим дискриминант квадратного уравнения:
$D=b^2-4ac=(-1)^2-4cdot2cdot(-45)=361$
Поскольку $D textgreater 0$, то квадратное уравнение имеет 2 корня. Найдем эти корни:

$t_1= dfrac{-b+ sqrt{D} }{2a} = dfrac{1+19}{2cdot2} =5;\ \ \t_2= dfrac{-b- sqrt{D} }{2a} = dfrac{1-19}{2cdot2} =- dfrac{9}{2}$

Обратная замена:

$x+ dfrac{4}{x} =-dfrac{9}{2} ,,,, bigg|cdot 2x\ \ 2x^2+9x+8=0\ D=b^2-4ac= 9^2-4cdot2cdot8=17$
Найдем корни по формулам:
$x_1_,_2= dfrac{-bpm sqrt{D}}{2a} = dfrac{-9pm sqrt{17} }{4}$

$x+ dfrac{4}{x} =5,,, bigg|cdot x\ \ x^2-5x+4=0$
По т. Виета: $x_3=1;,,,,,,, x_4=4.$


Ответ: $dfrac{-9pm sqrt{17} }{4};1;4.$

Answer 2

Ответ ответ ответ ответ ответ ответ