Question

Найдите значение |x-7y|, если:

Answer 1

$sqrt{x^2-2x+5} =- sqrt{y^2+2y+2} +3$
Преобразуем:
$sqrt{(x^2-2x+1)+4} =- sqrt{(y^2+2y+1)+1} +3 \ sqrt{(x-1)^2+4} =- sqrt{(y+1)^2+1} +3$
Оценим левую часть:
$(x-1)^2 geq 0 \ (x-1)^2+4 geq 4 \ sqrt{(x-1)^2+4} geq 2$
Оценим правую часть:
$(y+1)^2 geq 0 \ (y+1)^2 +1geq 1 \ sqrt{(y+1)^2 +1} geq 1 \ - sqrt{(y+1)^2 +1} leq -1 \ - sqrt{(y+1)^2+1} +3leq 2$
Но левая и правя часть равны. С одной стороны - это число не меньшее 2, с другой стороны - не большее 2. Значит, и левая и правая часть равна 2.
$left{begin{array}{l} sqrt{(x-1)^2+4} =2 \ - sqrt{(y+1)^2+1} +3=2 end{array} Rightarrow left{begin{array}{l} sqrt{(x-1)^2+4} =2\ - sqrt{(y+1)^2+1} =-1 end{array} Rightarrow$
$Rightarrow left{begin{array}{l} sqrt{(x-1)^2+4} =2\ sqrt{(y+1)^2+1} =1 end{array} Rightarrow left{begin{array}{l} (x-1)^2+4 =4\ (y+1)^2+1 =1 end{array} Rightarrow left{begin{array}{l} (x-1)^2 =0\ (y+1)^2 =0 end{array} Rightarrow$
$Rightarrow left{begin{array}{l} x-1 =0\ y+1 =0 end{array} Rightarrow left{begin{array}{l} x=1\ y=-1 end{array}$
$|x-7y|=|1-7cdot(-1)|=|1+7|=|8|=8$
Ответ: 8