Question

Найти все значения параметра a, при которых данное уравнение разрешимо, и решить его при найденных a:

$frac{2}{sqrt{3}}+sqrt{frac{sqrt{24(x^2+a^2)+9}-1}{6}}= =sqrt{3}(x^2+a^2+1)+sqrt{(x^2+a^2)(3x^2+3a^2+2)}$

Эту задачу МОЖНО решить возведением в квадрат. Но приветствоваться будут нестандартные методы решения.

Answer 1

Положим x² + a² = t, тогда 
$frac{2}{ sqrt{3} } + sqrt{ frac{ sqrt{24t+9}-1 }{6} } = sqrt{3}(t+1)+ sqrt{t(3t+2)}$

$frac{d}{dx} (frac{2}{ sqrt{3} } + sqrt{ frac{ sqrt{24t+9}-1 }{6} }) = frac{ sqrt{2} }{ sqrt{8t+3} sqrt{ sqrt{3} sqrt{8t+3}-1 } }$

$frac{d}{dx} (sqrt{3}(t+1)+ sqrt{t(3t+2)} ) = frac{3t+1}{ sqrt{t(3t+2)} } + sqrt{3}$

Производная первой функции меньше производной второй функции, обе они монотонны и пересекаются в точке t = 0 ⇒ больше нигде пересечений нет.

Итак, полученное уравнение имеет лишь один корень t = 0. Таким образом, x² + a² = 0. Но, так как в левой части равенства у нас выражение принимает всегда неотрицательные значения, x² = a² = 0, то есть x = a = 0.

Ответ: 0.

Answer 2

Где доказано, что других корней нет? Вроде бы на монотонность сослаться невозможно - обе части растут

Answer 3

А вы посчитайте производные для функций. Производная функции слева намного меньше производной функции справа, и обе они монотонны, пересекаются только в t = 0.