Question

1)Найдите решение уравнения sinx/3=-1/2 на отрезке [0;3pi]

2) решите 4sinx+5cosx=4

Answer 1

$sin frac{x}{3} =- frac{1}{2} \ \ frac{x}{3} =(-1)^{n+1}cdot frac{pi}{6} + pi n,n in mathbb{Z} \ \ x=(-1)^{n+1}cdot frac{pi}{2} +3 pi n,n in mathbb{Z}$
Отбор корней на промежутке [0;3pi]
$n=1;,,, x= frac{pi}{2} +3 pi > 3pi$
$n=0;,,,, x=- frac{pi}{2} +0 textless 0$
Корней нет на промежутке

2) Используем формулы, содержащие дополнительный угол
$4sin x+5cos x=4\ \ sqrt{4^2+5^2}sin(x+arcsin frac{5}{ sqrt{4^2+5^2} } )=4\ \ sqrt{41} sin(x+arcsin frac{5}{sqrt{41} } )=4\ \ sin(x+arcsin frac{5}{sqrt{41} } )= frac{4}{sqrt{41} } \ \ \ boxed{x=(-1)^kcdot arcsinbigg( frac{4}{sqrt{41} } bigg)-arcsinbigg( frac{5}{sqrt{41} }bigg)+pi k,k in mathbb{Z} }$