Question

найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x)=4x/x^2+1 на отрезке [-5;1/5]

Answer 1

Вычислим производную функции:
$f'(x)= dfrac{(4x)'cdot (x^2+1)-4xcdot(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = dfrac{-4x^2+4}{(x^2+1)^2}$
Приравниваем производную функции к нулю:
$f'(x)=0;,,,,,,, dfrac{-4x^2+4}{(x^2+1)^2} =0$
Дробь обращается в нулю, если числитель равен нулю
$-4x^2+4=0\ x^2=1\ x=pm 1$
Корень $x=1$ не принадлежит заданному отрезку.

Вычислим значения функции на отрезке:
$f(-1)= dfrac{4cdot(-1)}{(-1)^2+1} =-2$ - наименьшее значение
$f(-5)= dfrac{4cdot(-5)}{(-5)^2+1} =-dfrac{20}{26} =- dfrac{10}{13}$

$f( frac{1}{5})= dfrac{ frac{4}{5} }{( frac{4}{5})^2+1 } = dfrac{10}{13}$ - наибольшее значение