Question

Один из корней квадратного уравнения x^2-x-q=0 на 4 больше другого. Найдите корни уравнения и значение q.

Answer 1

Найдём корни уравнения:
$x^2-x-q=0 \ \ x_{1,2} = frac{1 pm sqrt{1^2 -4*1*(-q)} }{2} = frac{1 pm sqrt{1+4q} }{2} \ \ x_1 = frac{1 - sqrt{1+4q} }{2} \ \ x_2 = frac{1 + sqrt{1+4q} }{2}$

Используем условие, что один корень больше другого на 4:

$x_1 + 4 = x_2 \ \ frac{1 - sqrt{1+4q} }{2} +4 = frac{1 + sqrt{1+4q} }{2} \ \ 1 - sqrt{1+4q} +8 = 1 + sqrt{1+4q} \ \ 2 sqrt{1+4q} = 8 \ \ sqrt{1+4q} = 4 \ \ 1 + 4q = 16 \ \ 4q = 15 \ \ q= frac{15}{4} = 3,75$

Значение q = 3,75 нашли, следовательно, уравнение имеет вид:
$x^2-x-3,75=0$

Корни уравнения:

$x_1 = frac{1 - sqrt{1+4q} }{2} = frac{1 - sqrt{1+4*3,75} }{2} = frac{1-4}{2} =-1,5 \ \ x_2 = frac{1 + sqrt{1+4q} }{2} = frac{1 + sqrt{1+4*3,75} }{2} = frac{1+4}{2} =2,5$