Question

Найти экстремум функции(решать в виде системы уровнений)
z=-1800-x^2-y^2+80x+60y

Answer 1

$z(x,y)=-1800-x^2-y^2+80x+60y$
Находим подозрительные на экстремум точки. По необходимому условию экстремума, приравниваем первые частные производные нулю, решаем систему линейных алгебраических уравнений:
$left { {{ frac{dz}{dx}equiv80-2x=0, } atop { frac{dz}{dy}equiv60-2y=0, }} right.= textgreater left { {{x=40} atop {y=30}} right.$
Из достаточного условия экстремума следует, что если дифф. квадратичная форма положительна, то точка является точкой минимума, если отрицательна - максимума. Составим матрицу H из вторых частных производных заданной функции и вычислим её в стационарной точке (в данном случае элементы H - константы):
$H=left( begin{array}{cc} frac{partial^2z}{partial x^2} & frac{partial^2z}{partial xpartial y} \ frac{partial^2z}{partial xpartial y} &frac{partial^2z}{partial y^2} \ end{array} right)=left( begin{array}{cc} -2 & 0 \ 0 & -2 \ end{array} right)$
Для определения знака квадратичной формы можно воспользоваться критерием Сильвестра: если все угловые миноры матрицы положительны, то квадратичная форма положительна, если у угловых миноров чередуется знак (причём первый отрицательный), то квадратичная форма отрицательна.
Первый элемент <0, а определитель матрицы H >0, следовательно стационарная точка x=40, y=30 является локальным максимумом.
$z(40,30)=700$