Question

помогите решить задания с 3-6

Answer 1

3) Воспользуемся формулой: $cos alpha +cos beta = dfrac{cos( alpha + beta )+cos( alpha - beta )}{2}$
$cos(3x+4x)+cos(3x-4x)-cos 7x=cos 7x+cos x-cos7x=cos x$
Упростим значение выражения:
$cos frac{x}{2} = sqrt{0.8}$
Возведем обе части в квадрат, получим:
$cos^2 frac{x}{2} =0.8$
По формуле понижения степеней:
$dfrac{1+cos x}{2} =0.8\ 1+cos x=1.6\ cos x=0.6$


Ответ: $0.6$

4) $cos ( frac{ pi }{2} +x)=-sin x$ отсюда $sin x=- dfrac{12}{13}$
В 3 четверти косинус отрицателен, значит:
$cos x= -sqrt{1-sin^2x} =- dfrac{5}{13}$

По условию найдем значение выражения:
$tg 2x= dfrac{sin2x}{cos2x}= dfrac{2sin xcos x}{cos^2x-sin^2x} = dfrac{2cdot frac{5cdot 12}{169} }{ frac{25}{169} - frac{144}{169} } = dfrac{2cdot5cdot12}{(5-12)(5+12)} = -dfrac{120}{119}$

5) $cos3x-cos 9x+ sqrt{3} sin2x=0$
Воспользуемся формулой: $cos alpha -cos beta =-2sin frac{ alpha + beta }{2} sinfrac{ alpha - beta }{2}$

$-2sinfrac{5x+9x }{2} sinfrac{ 5x-9x }{2} + sqrt{3} sin 2x=0\ 2sin 7xsin 2x+sqrt{3} sin 2x=0\ sin2x(2sin 7x+sqrt{3} )=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю

$sin2x=0\ 2x=pi k,k in mathbb{Z}\ x= dfrac{pi k}{2} ,k in mathbb{Z}$

$sin 7x=- dfrac{ sqrt{3} }{2} \ \ x=(-1)^{k+1}cdot dfrac{pi}{21} + dfrac{pi n}{7} ,n in mathbb{Z}$

Отбор корней:
$k=0;,,, x=0\n=1;,,, x= dfrac{pi}{21} + dfrac{pi}{7} = dfrac{4pi}{21} \ \ n=2;,,, x=- dfrac{pi}{21} + dfrac{2pi}{7} = dfrac{5pi}{21}$


5) $sqrt{3} sin 3x+cos 3x=1$
Формула: $asin xpm bcos x = sqrt{a^2+b^2} sin (xpm arcsin frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} )$
В нашем случае:
$sqrt{3+1} sin (3x+arcsin frac{1}{ sqrt{3+1} } )=1\ 2sin(3x+ frac{pi}{6})=1 \ \ 3x+ frac{pi}{6}=(-1)^kcdot frac{pi}{6}+pi k,k in mathbb{Z}\ \ 3x=(-1)^kcdot frac{pi}{6}- frac{pi}{6}+pi k,k in mathbb{Z}, |:3\ \ x=(-1)^kcdot frac{pi}{18}- frac{pi}{18}+ frac{pi k}{3},k in mathbb{Z}$

$2+cos x=2tg frac{x}{2} \ \ 2+cos x= 2cdotfrac{1-cos x}{sin x} |cdot sin x\ \ 2sin x+sin xcos x=2-2cos x\ 2(sin x+cos x)+sin xcos x-2=0$
Представим число $2=2(sin^2 x+cos^2 x)$
$2(sin x+cos x)+sin xcos x-2(sin^2 x+cos^2 x)=0$
Добавим и вычтем слагаемые $sin 2x:$
$2(sin x+cos x)+sin xcos x-2(sin^2x+sin2x+cos^2x-sin 2x)=0\ 2(sin x+cos x)+sin xcos x-2(sin x+cos x)^2+2sin2x=0\ 2(sin x+cos x)^2-5sin xcos x-2(sin x+cos x)=0$
Пусть $sin x+cos x=t,,,, (star)$, причем $|t| leq sqrt{2}$
Возведем обе части в квадрат: $1+2sin xcos x=t^2$, отсюда $sin xcos x= frac{t^2-1}{2}$

Заменяем:

$2t^2-5cdot dfrac{t^2-1}{2} -2t=0|cdot 2\ \ 4t^2-5(t^2-1)-4t=0\ 4t^2-5t^2+5-4t=0\ -t^2-4t+5=0\ t^2 +4t-5=0$
Вычислим дискриминант квадратного уравнения:
$D=b^2-4ac=4^2-4cdot 1cdot(-5)=16+20=36$
$D textgreater 0$, значит квадратное уравнение имеет 2 корня:
$t_1= dfrac{-b+ sqrt{D} }{2a} = dfrac{-4+6}{2} =1$

$t_2= dfrac{-b- sqrt{D} }{2a} = dfrac{-4-6}{2} =-5,,,, notin (|t| leq sqrt{2} )$

Обратная замена
$sin x+cos x=1\ sqrt{1^2+1^2}sin(x+arcsin frac{1}{ sqrt{1^2+1^2} } )=1\ \ sin(x+ frac{pi}{4} )= frac{1}{ sqrt{2} } \ \ x=(-1)^kcdot frac{pi}{4} -frac{pi}{4} +pi k,k in mathbb{Z}$