Question

Сумма кубов членов бесконечной геометрической прогрессии относится к сумме квадратов её членов, как 20 : 21. Найдите третий член прогрессии, если сумма первых двух членов равна 1,25

Answer 1

Сумма кубов членов геометрической прогрессии:
$S_n=b_1^3*{1-q^{3n}over1-q^3}$
В пределе при n стремящемся к бесконечности:
$S={b_1^3over1-q^3}$
аналогично для квадратов:
$S={b_1^2over1-q^2}$
Из условия:
${b_1^3over1-q^3}:{b_1^2over1-q^2}={b_1*(1+q)over1+q+q^2}=20:21$
Кроме того:
$b_1+b_1q=1.25$

${b_1*(1+q)over1+q+q^2}=20:21\b_1+b_1q=1.25\\{1.25over1+q+q^2}={20over21}\\20q^2+20q-6.25=0\D=400+500=900\q_1={1over4}\q_2=-{5over4} - unsuitable$

${5over4}b_1=1.25\b_1=1\\b_3=b_1*q^2={1over16}$