Question

"Теоремы о пределах", высшая математика. Помогите решить пределы, пожалуйста

Answer 1

$1),,, lim_{x to 3} bigg(5-4x+x^2bigg)=5-4cdot 3+3^2=5-12+9=boxed{2}$

$2) lim_{x to 5} dfrac{x^2-25}{x-5} =lim_{x to 5} dfrac{(x-5)(x+5)}{x-5} =lim_{x to 5} bigg(x+5bigg)=boxed{10}$

$3)$ Разложим числитель и знаменатель на множители:
$3x^2+x-2=0$
Вычислим дискриминант
$D=b^2-4ac=1^2-4cdot3cdot(-2)=25$
$D textgreater 0$, значит квадратное уравнение имеет 2 корня:
$x_1= dfrac{-b+ sqrt{D} }{2a} = dfrac{-1+5}{6} = dfrac{2}{3} ;\ \ x_2= dfrac{-b- sqrt{D} }{2a} = dfrac{-1-5}{6} =-1$

Разложение: $3x^2+x-2=3(x+1)(x- frac{2}{3} )=(x+1)(3x-2)$

$4x^2+x-3=0$
Вычислим дискриминант квадратного уравнения:
$D=b^2-4ac=1^2-4cdot4cdot(-3)=49$
Найдем корни квадратного уравнения по формулам:
$x_1= dfrac{-b+ sqrt{D} }{2a} = dfrac{-1+7}{8} = dfrac{3}{4} ;\ \ x_2= dfrac{-b- sqrt{D} }{2a} = dfrac{-1-7}{8} =-1$

Разложение: $4x^2+x-3=4(x+1)(x- frac{3}{4} )=(x+1)(4x-3)$
Вычислим предел теперь:
$lim_{x to -1} dfrac{(x+1)(3x-2)}{(x+1)(4x-3)} = lim_{x to -1} dfrac{3x-2}{4x-3} = dfrac{3cdot(-1)-2}{4cdot(-1)-3}=boxed{ dfrac{5}{7} }$

$4)$ домножим числитель и знаменатель на сопряженное:
$lim_{x to 0} dfrac{2xcdot( sqrt{4+x} + sqrt{4-x} )}{( sqrt{4+x} )^2-( sqrt{4-x} )^2} = lim_{x to 0} dfrac{2xcdot( sqrt{4+x}+ sqrt{4-x}) }{4+x-4+x} =\ \ \ = lim_{x to 0} dfrac{2xcdot( sqrt{4+x}+ sqrt{4-x}) }{2x} = lim_{x to 0} ( sqrt{4+x} + sqrt{4-x} )=boxed{4}$

$5)$ Разделим числитель и знаменатель дроби на $x^3$
$lim_{x to infty} dfrac{ frac{4x^3}{x^3}+ frac{2x^2}{x^3} - frac{1}{x^3} }{ frac{7}{x^3}- frac{2x}{x^3} + frac{3x^3}{x^3} } = lim_{x to infty} dfrac{4+ frac{2}{x}- frac{1}{x^3} }{3- frac{2}{x^2}+ frac{7}{x^3} } = dfrac{4+0-0}{3-0+0} =boxed{ frac{4}{3} }$

$6) lim_{x to 1} dfrac{x^3-3x^2+4x-2}{x^3-2x^2+1} =lim_{x to 1} dfrac{(x-1)(x^2-2x+2)}{(x-1)(x^2-x-1)} =\ \ \ =lim_{x to 1} dfrac{x^2-2x+2}{x^2-x-1} = dfrac{1^2-2cdot1+2}{1^2-1-1} =boxed{-1}$

$7)$ Воспользуемся эквивалентностью функции: $sin x,, sim ,, x,,,,,, xto 0$
$lim_{x to 0} dfrac{sin^3 frac{x}{5} }{x^3} =lim_{x to 0} dfrac{( frac{x}{5} )^3}{x^3} = boxed{ frac{1}{125} }$

$8)$ Второй замечательный предел: $lim_{x to infty} bigg(1+ dfrac{1}{x} bigg)=e$

$lim_{x to infty} bigg(1+ dfrac{7}{x} bigg)^big{2x}=lim_{x to infty} bigg(1+ dfrac{7}{x} bigg)^big{2xcdot frac{7}{x} cdot frac{x}{7} }=\ \ \ =e^big{lim_{x to infty} frac{2xcdot 7}{x} }=boxed{e^{14}}$

$9)$ Снова же второй замечательный предел:
$lim_{x to infty} bigg( dfrac{x+1}{x-2}bigg)^big{ frac{x}{3} } =lim_{x to infty} bigg( dfrac{x-2+3}{x-2} bigg)^big{ frac{x}{3} }=lim_{x to infty} bigg(1+ dfrac{3}{x-2}bigg)^big{ frac{x}{3} } =$

$=lim_{x to infty} bigg(1+ dfrac{3}{x-2} bigg)^big{ frac{x}{3} cdot frac{3}{x-2} cdot frac{x-2}{3} }=e^bigg{lim_{x to infty} frac{x}{x-2} }}=boxed{e}$