Question

Осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник, один из углов которого 120°, а основание 12 см. Найдите объём конуса и площадь его полной поверхности.

Answer 1

 Δ $AMB-$  осевое сечение конуса
 Δ $AMB-$   равнобедренный
 $textless AMB=120к$
 $AB=12$ см
$V_k-$ ?
$S_{nol}-$ ?

Δ $AMB-$   равнобедренный
$AM=BM$
$textless MAB= textless MBA$ ( по свойству углов равнобедренного треугольника)
$textless AMB+ textless MAB+ textless MBA=180к$
$120к+2 textless MAB=180к$
$2 textless MAB=60к$
$textless MAB=30к$
$MO$ ⊥$AB$
$AO=OB=R=6$ см
Δ $MOA-$ прямоугольный
$frac{MO}{AO}=tg textless MAO$
$frac{MO}{6}=tg textless 30к$
$MO=AO*tg30к$
$MO=6* frac{ sqrt{3} }{3} =2 sqrt{3}$ см
$frac{AO}{AM}=cos textless MAO$
$frac{6}{AM}=cos textless 30к$
$frac{6}{AM}= frac{ sqrt{3} }{2}$
$AM=4 sqrt{3}$ см
$V_k= frac{1}{3}pi R^2H$
$V_k= frac{1}{3}pi*6^2*2 sqrt{3} =24 sqrt{3} pi$ см³
$S_{nol}=S_{ocn}+S_{bok}$
$S_{ocn}= pi R^2$
$S_{ocn}=6^2 pi =36 pi$ см²
$S_{bok}= pi RL$
$AM=L=4 sqrt{3}$
$S_{bok}=6*4 sqrt{3} pi =24 sqrt{3} pi$ см²
$S_{nol}=36 pi +24 sqrt{3} pi$ см²

Ответ: 24√3 см³;  36π+24√3π см²