Question

Найти частное решение дифференциального уравнения
x2y’=(2y-1)sin1/x , y=(1/п)=1

Answer 1

Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно $y':$
$y'= dfrac{(2y-1)sin frac{1}{x} }{x^2}$
Воспользуемся определением дифференциала:
$dfrac{dy}{dx} = dfrac{(2y-1)sin frac{1}{x} }{x^2}$ - уравнение с разделяющимися переменными.
Разделим переменные:
$dfrac{dy}{2y-1} = dfrac{sin frac{1}{x}}{x^2} ,dx$ - уравнение с разделёнными переменными.
Проинтегрируем обе части уравнения:
$int dfrac{dy}{2y-1} =int dfrac{sin frac{1}{x} }{x^2} , dx$
Внесем под знак дифференциала
$int dfrac{dy}{2y-1} =-int sin frac{1}{x},, d(frac{1}{x})$

$dfrac{1}{2} ln|2y-1|=cos dfrac{1}{x}+C$ - общий интеграл

Найдем решение задачи Коши:
$dfrac{1}{2} ln|2cdot1 -1|=cos dfrac{1}{ frac{1}{ pi } }+C\ \ C+cos pi =0\ C-1=0\ C=1$

$dfrac{1}{2} ln|2y-1|=cos dfrac{1}{x}+1$ - частное решение.