Question

найти наибольшее значение функции y= (sin^2•2x)/( sin^4•x+cos^4•x)

Answer 1

Упростим сначала функцию: 
$y=...= dfrac{sin^22x}{sin^4x+cos^4x+2sin^2xcos^2x-2sin^2xcos^2x} =\ \\ = dfrac{sin^22x}{(cos^2x+sin^2x)^2-0.5sin^22x} = dfrac{sin^22x}{1-0.5sin^22x} =\ \\ = -2cdotdfrac{sin^22x-2+2}{sin^22x-2} =-2left(1+ dfrac{2}{sin^22x-2}right)=-2- dfrac{4}{sin^22x-2}$

Область значений $sin^22x$ - промежуток $[0;1]$

$0 leq sin^22x leq 1,, |-2\ \ -2 leq sin^22x-2 leq -1$
Поменяем знак неравенства на противоположный(после того как перевернем дробь)
$-1 leq dfrac{1}{sin^22x-2} leq - dfrac{1}{2} ,, |cdot(-4)$
При умножение неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный
$2 leq - dfrac{4}{sin^22x-2} leq 4,,,|-2\ \\ 0 leq -2 -dfrac{4}{sin^22x-2} leq 2$


Наибольшее значение функции равно $2.$