Question

Площадь треугольника АВС равна 12. Найдите площадь треугольника МРК, если известно, что АМ : ВМ = ВР : СР = СК : АК = 1 : 2.

Answer 1

Δ $ABC$
$M$ ∈ $AB$
$K$ ∈ $AC$
$P$ ∈ $BC$
$AM : BM = BP : CP = CK : AK = 1 : 2.$
$S_{ABC}=12$
$S_{MPK}-$ ?

$S= frac{1}{2} *a*b*sin alpha$
$S_{ABC}= frac{1}{2} AB*AC*sin textless A=frac{1}{2} CB*AC*sin textless C=$$=frac{1}{2} AB*CB*sin textless B$ или
$x-$ коэффициент пропорциональности
$S_{ABC}=frac{1}{2}*3x*3x*sin textless A=frac{1}{2}*3x*3x*sin textless C=$$=frac{1}{2}*3x*3x*sin textless B$
$frac{9}{2}x^2*sin textless A=12$
$x^2*sin textless A= frac{8}{3}$

$frac{9}{2}x^2*sin textless C=12$
$x^2*sin textless C= frac{8}{3}$

$frac{9}{2}x^2*sin textless B=12$
$x^2*sin textless B= frac{8}{3}$

$S_{AMK}= frac{1}{2} AM*AK*sin textless A= frac{1}{2} *x*2x*sin textless A= x^{2} *sin textless A$
$S_{MBP}= frac{1}{2} BM*BP*sin textless B= frac{1}{2} *2x*x*sin textless B= x^{2} *sin textless B$
$S_{KPC}= frac{1}{2} PC*CK*sin textless C= frac{1}{2} *2x*x*sin textless C= x^{2} *sin textless C$
Заметим, что
$x^{2} *sin textless A= frac{8}{3}$
$x^{2} *sin textless B= frac{8}{3}$
$x^{2} *sin textless C= frac{8}{3}$
Тогда 
$S_{MPK}=S_{ABC}-S_{AMK}-S_{MBP}-S_{PKC}$
$S_{MPK}=12-3* frac{8}{3} =4$

Ответ: 4 кв. ед.