Question

решить задачу коши

y''-2y'+y=sinx;   y(0)=0 ,    y'(0)=1

Answer 1

Решение: Решаем линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

 y''-2y'+y=0 (*)

Пишем характеристическое уравнение t^2-t-1=0, решаем его:

D=1^2+4*1=5

t1=(1+корень(5)) 2

t2=(1-корень(5)) 2

Характерисическое решение имеет два корня =(1+корень(5)) 2 кратности 1 и (1-корень(5)) 2 кратности 1, поэтому общее решения уравнения (*) имеет вид:

y=c1 * e^((1+корень(5)) 2)*x )  + c2* e^((1-корень(5)) 2)*x )  .

Правая часть исходного уравнения имеет вид sinx, гамма равно альфа+бэта*i=1 – (1 не есть корнем характеристического уравнения) , поэтому частное решение уравнения

 y''-2y'+y=sinx (**) ищем методом неопределенных коэффициентов в виде

y=c*cos x+d*sinx

y’=-c*sin x+ d*cos x

y’’=-c*cos x-d*sin x. Подставляем функцию и ее производные в (**), получим

-c*cos x-d*sin x-2*(-c*sin x+ d*cos x)+ c*cos x+d*sinx= sinx, или после приведения подобных членов:

2с*sin x-2d*cos x=sin x. Приравниваем соответствующие коэффициенты получаем систему:

2с=1

-2d=0

Откуда c=12,d=0.

Таким образом частное решение имеет вид:

y=12*cos x.

Общее решение исходного уравенения имеет вид y=c1 * e^((1+корень(5)) 2)*x )  + c2* e^((1-корень(5)) 2)*x )+ 12*cos x.

(производная равна y'=c1*((1+корень(5)) 2) * e^((1+корень(5)) 2)*x )  + c2*((1-корень(5)) 2)* e^((1-корень(5)) 2)*x )-12*sin x.)

Используя условия y(0)=0 ,    y'(0)=1, щем решение задачи Коши:

0=с1* e^((1+корень(5)) 2)*0 )  + c2* e^((1-корень(5)) 2)*0 )+ 12*cos 0=с1+с2+12.

1= c1*((1+корень(5)) 2) * e^((1+корень(5)) 2)*0 )  + c2*((1-корень(5)) 2)* e^((1-корень(5)) 2)*0 )-12*sin 0= c1*((1+корень(5)) 2)+ c2*((1-корень(5)) 2).

 

0= с1+с2+12.

1= c1*((1+корень(5)) 2)+ c2*((1-корень(5)) 2).

c1=-12-c2

1=(-12-c2)*((1+корень(5)) 2)+ c2*((1-корень(5)) 2)= (-1-корень(5)) 4+c2*((-1-корень(5)) 2)+(1-корень(5)) 2)= (-1-корень(5)) 4-c2*корень(5).

c2=(-5-5*корень(5))4*корень(5)5=(-1-корень(5))4

с1=-12-c2=(-1+корень(5))20. Таким образом решением задачи Коши есть функция

y= ((-1+корень(5))4) * e^((1-корень(5)) 2)*x )  + (-1-корень(5))4)* e^((1-корень(5)) 2)*x )

+ 12*cos x.

Ответ: y= ((-1+корень(5))4) * e^((1-корень(5)) 2)*x )  + (-1-корень(5))4)* e^((1-корень(5)) 2)*x )

+ 12*cos x.