Question

Всем привет)нужна срочно помощь вычислить предел "по правилу Лопиталя"))) $lim_{x to 1} frac{1-4sin^{2} frac{ Pi x}{6} }{1- x^{2} }$

Answer 1

$lim_{xto 1} dfrac{1-4sin^2 frac{ pi x}{6} }{1-x^2} =lim_{xto 1} dfrac{1-4cdot dfrac{1-cos frac{ pi x}{3} }{2} }{(1-x)(1+x)} =\ \\ =lim_{xto 1} dfrac{1-2+2cos frac{ pi x}{3} }{(1+1)(1-x)} = dfrac{1}{2} lim_{xto 1} dfrac{2cos frac{ pi x}{3} -1}{1-x} ,,,,boxed{=}$

Воспользуемся правилом Лопиталя(возьмём в производную числитель и знаменатель):
$boxed{=},, dfrac{1}{2} lim_{x to 1} dfrac{(2cos frac{ pi x}{3}-1)^' }{(1-x)^'} =dfrac{1}{2}lim_{x to 1} dfrac{- frac{2 pi }{3} sin frac{ pi x}{3} }{-1} =$


$=dfrac{1}{2}cdotdfrac{2 pi }{3}sinleft( dfrac{ pi cdot 1}{3} right)=dfrac{1}{2}cdotdfrac{2 pi }{3}cdotdfrac{ sqrt{3} }{2}= dfrac{ pi }{2 sqrt{3} }$


Ответ: $dfrac{ pi }{2 sqrt{3} } .$

Answer 2

Пожалуйста)