Question

Помогите, пожалуйста, решить дифференциальное уравнение
xy` (lny – lnx) = y

Answer 1

$xy' (ln y - ln x) = y$
Применяем свойство логарифма:
 $xy' ln dfrac{y}{x} = y$
Далее преобразуем:
 $y' ln dfrac{y}{x} = dfrac{y}{x}$
Получаем однородное диф. уравнение.
Замена:
 $dfrac{y}{x} =t \ Rightarrow y=tx; y'=t'x+tx'=t'x+t$
Получаем уравнение с разделяющимися переменными:
$(t'x+t)ln t=t \ t'x+t= dfrac{t}{ln t} \ t'x= dfrac{t}{ln t} -t \ dfrac{xdt}{dx} =dfrac{t}{ln t} -t \ dfrac{dt}{dfrac{t}{ln t} -t} = dfrac{dx}{x}$
Интегрируем левую часть отдельно:
$intlimits dfrac{1}{dfrac{t}{ln t} -t} dt= intlimits dfrac{1}{dfrac{t-tln t}{ln t} } dt= intlimits dfrac{ln t}{t-tln t }dt = intlimits dfrac{ln t}{t(1-ln t) }dt$
Искусственно добавим и отнимем 1 в числителе и разобьем интеграл на два интеграла:
$intlimits dfrac{ln t-1+1}{t(1-ln t) }dt = intlimits dfrac{ln t-1}{t(1-ln t) }dt + intlimits dfrac{1}{t(1-ln t) }dt$
Выполняем подведение под знак дифференциала:
$- intlimits dfrac{1}{t }dt + intlimits dfrac{1}{1-ln t }d(ln t) = - intlimits dfrac{1}{t }dt - intlimits dfrac{1}{1-ln t }d(1-ln t) = \ =- ln |t| - ln|1-ln t|$
После интегрирования получим:
$- ln |t| - ln|1-ln t|=ln|x|+ln|C| \ - ln |t(1-ln t)|=ln|Cx| \ ln |(t(1-ln t))^{-1}|=ln|Cx| \ (t(1-ln t))^{-1}=Cx \ dfrac{1}{t(1-ln t)} =Cx$
Обратная замена:
$dfrac{1}{ dfrac{y}{x} (1-ln dfrac{y}{x} )} =Cx \ dfrac{x}{ y(1-ln dfrac{y}{x} )} =Cx$
На х можно сократить, так как по условию х не может быть равен 0.
$dfrac{1}{ y(1-ln dfrac{y}{x} )} =C \ Cy(1-ln dfrac{y}{x} )=1$
Ответ: $Cy(1-ln dfrac{y}{x} )=1$ - общий интеграл уравнения

Answer 2

спасибо