Question

$left { {{( x^{2}+y{2}-xy)(x-y)=1+ y^{3} } atop {( x^{2}+y{2}+xy)(x+y)=1- y^{3} }} right.$
Решите систему уравнений пожалуйста

Answer 1

$begin{cases} & text{ } (x^2+y^2-xy)(x-y)=1+y^3 \ & text{ } (x^2+y^2+xy)(x+y)=1-y^3 end{cases}$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$begin{cases} & text{ } x^3-2x^2y+2xy^2-y^3-y^3-1=0\ & text{ } x^3+2x^2y+2xy^2+y^3+y^3-1=0 end{cases}Rightarrow\ Rightarrowbegin{cases} & text{ } x^3-2x^2y+2xy^2-2y^3-1=0 \ & text{ } x^3+2x^2y+2xy^2+2y^3-1=0 end{cases}$
Тогда следующая система эквивалентна предыдущей системе:
$begin{cases} & text{ } x^3-2x^2y+2xy^2-2y^3-1=x^3+2x^2y+2xy^2+2y^3-1 \ & text{ } x^3+2x^2y+2xy^2+2y^3-1=0 end{cases}\ \ begin{cases} & text{ } -4x^2y-4y^3=0 \ & text{ } x^3+2x^2y+2xy^2+2y^3-1=0 end{cases}begin{cases} & text{ } -4y(x^2+y^2)=0 ,,,,,,,,,,,,,,,,(star)\ & text{ } x^3+2x^2y+2xy^2+2y^3-1=0end{cases}$
Уравнение $(star)$ разбивается на 2 уравнения:
$1),, y=0\ 2), x^2+y^2=0,,,,,Rightarrow (0;0).$
Корни уравнения $x^2+y^2=0$ не подходят данной системе(можете проверить, подставив $x=y=0$).

Найдем переменную $x,$, если значение $y=0:$
$x^3+2x^2cdot 0+2xcdot 0^2+2cdot 0^3-1=0\ x^3-1=0\ x=1$


Ответ: $(1;0).$