Question

Сравните. Пожалуйста с объяснением!

1) cos 0,8π и cos 0,7π
2) cos 11π9 и cos 7π6
3) cos 15π8 и cos 11π5
4) cos 218° и sin 230°

Answer 1

При увеличении аргумента от $0$ до $pi$ (верхняя полуплоскость числовой окружности) косинус убывает от $1$ до $-1$.
При увеличении аргумента от $pi$ до $2 pi$ (нижняя полуплоскость числовой окружности) косинус возрастает от $-1$ до $1$

1.
Каждый из углов $0.8 pi$ и $0.7 pi$ на числовой окружности лежит в верхней полуплоскости. Так как $0.8 pi textgreater 0.7 pi$, то $cos0.8 pi textless cos0.7 pi$

2,
Каждый из углов $dfrac{11 pi }{9}$ и $dfrac{7 pi }{6}$ на числовой окружности лежит в нижней полуплоскости. Сравним:
$dfrac{11 pi }{9} vee dfrac{7 pi }{6} \ dfrac{11 }{9} vee dfrac{7 }{6} \ 11cdot6 vee7cdot 9 \ 66 vee63 \ 66 textgreater 63 \ dfrac{11 pi }{9} textgreater dfrac{7 pi }{6}$
Значит, $cosdfrac{11 pi }{9} textgreater cos dfrac{7 pi }{6}$

3.
Углы $dfrac{15 pi }{8}$ и $dfrac{11 pi }{5}$ расположены в 4 и 1 четвертях соответственно. Преобразуем выражения так, чтобы углы располагались в одной полуплоскости:
$cos dfrac{15 pi }{8}= cosleft(2 pi - dfrac{15 pi }{8}right)= cos dfrac{ pi }{8} \ cos dfrac{11pi }{5}= cosleft( dfrac{pi }{5}+2 pi right)= cos dfrac{ pi }{5}$
Теперь оба угла расположены в верней полуплоскости, причем $dfrac{ pi }{8} textless dfrac{ pi }{5}$. Значит, $cos dfrac{ pi }{8} textgreater cosdfrac{ pi }{5}$, следовательно $cos dfrac{15 pi }{8} textgreater cosdfrac{ 11pi }{5}$

4.
Преобразуем синус к косинусу:
$sin230^circ=cos(90^circ-230^circ)=cos(-140^circ)=cos140^circ$
Углы $218^circ$ и $140^circ$ расположены в 3 и 2 четвертях, поэтому преобразуем первое выражение:
$cos218^circ=cos(360^circ-218^circ)=cos142^circ$
Теперь оба угла лежат в верхней полуплоскости, причем $142^circ textgreater 140^circ$. Тогда, $cos142^circ textless cos140^circ$ или $cos218^circ textless sin230^circ$