Question

Шар радиуса R заряжен равномерно с объёмной плотностью заряда ρ. Определите
модуль напряженности поля в произвольной точке на расстоянии r от центра шара.
Постройте график зависимости модуля напряженности электрического поля от
расстояния до центра шара.

Answer 1

ЧЕРЕЗ ТЕОРЕМУ ГАУССА:

$int_o^{S_Sigma} { E , dS } = frac{ | q_Sigma | }{ varepsilon_o varepsilon }$
для произвольной замкнутой поверхности окружающий некторый заряд;

Ясно, что поле вокруг такого тела обладает сферической симметрией, а значит поле в любой точке сонаправлено в радиус-вектором, проведённым из центра сферы. Причём, исходя из той же сферической симметри – на равных расстояниях от сферы в любой точке поле имеет одну и ту же напряжённость.

Поэтому для точек    $r geq R$    за пределами шара мы можем записать:

$4 pi r^2 E_> = frac{ | q_Sigma | }{ varepsilon_o varepsilon } = frac{4 pi | rho | R^3}{3 varepsilon_o varepsilon } ;$

$E_> = frac{ | rho | R^3 }{ 3 varepsilon_o varepsilon r^2 } = frac{ 4 pi k | rho | R^3 }{ 3 varepsilon r^2 } ;$

А для точек    $r leq R$    внутри шара мы можем записать:

$4 pi r^2 E_< = frac{ | q_r | }{ varepsilon_o varepsilon } = frac{4 pi | rho | r^3}{3 varepsilon_o varepsilon } ;$

$E_< = frac{ | rho | }{ 3 varepsilon_o varepsilon } cdot r = frac{ 4 pi k | rho | }{ 3 varepsilon } cdot r ;$



ЧЕРЕЗ УДЕЛЬНУЮ ФОРМУ ЗАКОНА КУЛОНА ДЛЯ ШАРА:

Для точек    $r geq R$    за пределами шара мы можем записать:

$E_> = frac{k}{varepsilon} cdot frac{ | q_Sigma | }{r^2} = frac{k}{varepsilon} cdot frac{4 pi | rho | R^3}{3 r^2} ;$

$E_> = frac{ 4 pi k | rho | R^3 }{ 3 varepsilon r^2 } = frac{ | rho | R^3 }{3 varepsilon_o varepsilon r^2} ;$

А для точек    $r leq R$    внутри шара мы можем записать:

$E_< = frac{k}{varepsilon} cdot frac{ | q_r | }{r^2} = frac{k}{varepsilon} cdot frac{4 pi | rho | r^3}{3 r^2} ;$

$E_< = frac{ 4 pi k | rho | }{ 3 varepsilon } cdot r = frac{ | rho | }{ 3 varepsilon_o varepsilon } cdot r ;$




ЧЕРЕЗ УДЕЛЬНУЮ ФОРМУ ЗАКОНА КУЛОНА ДЛЯ СФЕРЫ:

Напряжённость равномерно заряженной сферы за её пределеами равна напряжённости точечного заряда, расположенного вместо сферы в её центре. Тогда:

Для точек    $r geq R$    за пределами шара мы можем записать:

$E_> = frac{k}{varepsilon} cdot frac{ | q_Sigma | }{r^2} = frac{k}{varepsilon} cdot frac{4 pi | rho | R^3}{3 r^2} ;$

$E_> = frac{ 4 pi k | rho | R^3 }{ 3 varepsilon r^2 } = frac{ | rho | R^3 }{3 varepsilon_o varepsilon r^2} ;$

А для точек    $r leq R$    внутри шара мы можем записать:

$E_< = frac{k}{varepsilon} cdot frac{ | q_r | }{r^2} = frac{k}{varepsilon} cdot frac{4 pi | rho | r^3 }{ 3 r^2 } ;$

$E_< = frac{ 4 pi k | rho | }{ 3 varepsilon } cdot r = frac{ | rho | }{ 3 varepsilon_o varepsilon } cdot r ;$




ОТВЕТ:

$E = {$
$= frac{ 4 pi k | rho | }{ 3 varepsilon } cdot r = frac{ | rho | }{ 3 varepsilon_o varepsilon } cdot r ,$    при    $r leq R ;$
$= frac{ 4 pi k | rho | R^3 }{ 3 varepsilon r^2 } = frac{ | rho | R^3 }{3 varepsilon_o varepsilon r^2} ,$    при    $r geq R ; }$





ГРАФИК СМОТРИТЕ В ПРИЛОЖЕННОМ ФАЙЛЕ: