Question

cos^3(x)+sin^8(x)=1 решить уравнение

Answer 1

На интервале    $( 0 ; frac{ pi }{2} ) :$

$0 < cos{x} < 1 ;$

$0 < cos^3{x} < cos^2{x} ;$

$0 < sin{x} < 1 ;$

$0 < sin^6{x} < 1 ;$

$0 < sin^8{x} < sin^2{x} ;$

$0 < cos^3{x} + sin^8{x} < cos^2{x} + sin^2{x} = 1 ;$


На интервале    $( -frac{ pi }{2} ; 0 ) :$    всё симметрично, поскольку и    $cos^3{x}$    и    $sin^8{x}$    –  чётные функции, то всё точно так же, и:

$0 < cos^3{x} + sin^8{x} < 1 ;$


На интервале    $( frac{ pi }{2} ; pi ) :$

$cos{x} < 0 ;$

$cos^3{x} < 0 ;$

$0 < sin^8{x} < sin^2{x} ;$

$0 < cos^3{x} + sin^8{x} < cos^2{x} + sin^2{x} = 1 ;$


Аналогично и на интервале:    $( -pi ; -frac{ pi }{2} ) ;$

Для возможных корней остаются только точки:    $x = frac{ pi n }{2} , n in Z ;$

Среди них не подходят только:    $x = pi + 2 pi n , n in Z ;$




ОТВЕТ:

$x_1 = frac{ pi }{2} + pi n , n in Z ;$

$x_2 = 2 pi n , n in Z .$