Question

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0)
$S: x^{2} + y^{2}-xz-yz=0$

Answer 1

Рассмотрим функцию
    $f(x,y,z)=x^2+y^2-xz-yz$
Наша функция задана в неявном виде, то частные производные функции вычисляются по формулам:
$dfrac{partial z}{partial x} = -dfrac{ frac{partial f}{partial x} }{ frac{partial f}{partial z} } =- dfrac{2x-z}{-x-y}$

$dfrac{partial z}{partial y} = -dfrac{ frac{partial f}{partial y} }{ frac{partial f}{partial z} } =- dfrac{2y-z}{-x-y}$
Вычислим значение частных производных в точке $M_0$ с координатами $(x_0;y_0;z_0).$
$f'_x(x_0;y_0;z_0)= dfrac{2x_0-z_0}{x_0+y_0} \ \ f'_y(x_0;y_0;z_0)= dfrac{2y_0-z_0}{x_0+y_0}$
Запишем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке $M_0:$
$z-z_0=f'_x(x_0;y_0;z_0)(x-x_0)+f'_y(x_0;y_0;z_0)(y-y_0)$ - уравнение касательной в общем виде.

$boxed{z-z_0= dfrac{2x_0-z_0}{x_0+y_0} cdot (x-x_0)+ dfrac{2y_0-z_0}{x_0+y_0} cdot(y-y_0)}$ - уравнение касательной плоскости к поверхности в точке $M_0$ с координатами $(x_0;y_0;z_0).$

Уравнение нормали в общем виде:
      $dfrac{x-x_0}{f'_x(x_0;y_0;z_0)} = dfrac{y-y_0}{f'_y(x_0;y_0;z_0)} = dfrac{z-z_0}{-1}$
Пользуясь этой формулой, имеем каноническое уравнение нормали к поверхности в точке $M_0:$

$boxed{dfrac{(x-x_0)(x_0+y_0)}{2x_0-z_0} = dfrac{(y-y_0)(x_0+y_0)}{2y_0-z_0} = dfrac{z-z_0}{-1}}$ - каноническое уравнение нормали к поверхности в точке $M_0$ с координатами $(x_0;y_0;z_0).$