Question

1)Докажите, что функция y = x^4 - 1/5 cos^5x + 2 является первообразной для функции y = 4x^3 + sinxcos^4x

2)Для функции y = 15/5x-9 + 2/x² найдите ту первообразную график которой проходит через точку A (2; -7)

Answer 1

1) производная первообразной функции = исходной функции
найдем производную первообразной, и если она совпадет с данной функцией, то 1-ая функция - первообразная для 2-ой

$y = x^4 - 1/5 cos^5x + 2$
$y'=4x^3- frac{5*cos^4x*-sinx}{5}=4x^3+cos^4x*sinx$
производная 1-ой функции = 2-ой функции ==> 1-ая функция - первообразная

2) 
для данной функции найдем первообразную через интегрирование
$int { frac{15}{5x-9}+ frac{2}{x^2} } , dx = int { frac{15}{5x-9},dx+ intfrac{2}{x^2} } , dx =$
$frac{15}{5} int { frac{1}{5x-9},d(5x-9)+ 2intfrac{1}{x^2} } , dx =3ln(5x-9)- frac{2}{x} +C$
чтобы найти С, подставим точку А в функцию
$3ln(5*2-9)- frac{2}{2} +C=-7$
$3ln1- 1+C=-7$
$3+C=-6$
$C=-9$
Окончательная первообразная:
$3ln(5x-9)- frac{2}{x} -9$