Question

Шарик подвешен к потолку ящика пружинной жесткостью 1Н/см а с дном ящика соединён пружинной с жёсткостью 3 Н/см. Определите период и частоту вертикальных гармонических колебаний шарика.
РАСПИШИТЕ ЗАДАЧУ ПОЛНОСТЬЮ ПОЖАЛУЙСТА, ЖЕЛАТЕЛЬНО НА ЧЕРНОВИКЕ И ФОТКУ, ДАМ МНОГО БАЛЛОВ, ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА, СРОЧНО!!!

Answer 1

ПЕРВЫЙ СПОСОБ :::

Рассмотрим обычную гуковскую пружину длины    $L ,$    и жёсткостью    $k ,$    деформацию которой обозначим, как    $l .$    Тогда возникающая сила упругости при её деформации будет выражаться обычным законом Гука:

$F = -kl ;$

Рассмотрим некоторое состояние [1] :    $F_1 = -kl_1$
и некоторое состояние [2] :    $F_2 = -kl_2$

При вычитании этих уравнений получим, что для двух любых состояний верно, что:

$F_2 - F_1 = -k ( l_2 - l_1 ) ;$

$Delta F = -k Delta l ;$

Т.е. изменение силы действующей со стороны любой гуковской пружины пропорционально изменению её деформации с противоположным знаком, через её собственную жёсткость.

В нашем случае, в состоянии равновесия    $z = 0$    – все силы, действующие на груз, взаимно скомпенсированы. При изменении положения груза на    $z > 0 ,$    (т.е. вверх), растяжение нижней пружины (down) увеличится, а значит её сила, действующая на груз вниз – тоже увеличится по модулю. В проективном виде это изменение выразится, как:

$Delta F_d = - k_d z < 0$    – это символизирует увеличение отрицательной (направленной вниз) величины силы нижней пружины.

В то же время, при изменении положения груза на    $z > 0 ,$    (вверх), растяжение верхней пружины (up) уменьшится, а значит её сила, действующая на груз вверх – тоже уменьшится по модулю. В проективном виде это изменение выразится, как:

$Delta F_u = - k_u z < 0$    – это символизирует уменьшение  положительной (направленной вверх) величины силы верхней пружины.

Общее изменение силы составит (сила тяжести не изменится):

$Delta F = Delta F_d + Delta F_u = - ( k_d + k_u ) z ;$

При этом, поскольку в начальном состоянии действие всех сил было скомпенсировано, т.е. равнодействующая была равна нулю, то, стало быть, при смещении груза на    $z ,$    общая сила, действующая со стороны системы пружин – будет как раз и равна изменению действующих сил:

$F = - ( k_d + k_u ) z ;$
(рассуждения для отрицательного смещения производятся аналогично)

А такая зависимость силы от смещения – эквивалентна системе груза и одной пружины с жёсткостью, равной сумме исходных жёсткостей. Стало быть:

$T = 2 pi sqrt{ frac{m}{ k_d + k_u } } ,$    где    $m$    –  масса шарика.

$nu = frac{1}{2 pi} sqrt{ frac{ k_d + k_u }{m} } .$




ВТОРОЙ СПОСОБ :::

Пусть начальные растяжения пружин:    $l_d$   (нижней), и    $l_u$   (верхней). При этом положим вертикальное положение груза    $z = 0 .$    Ось    $Oz$    направлена вверх.

Запишем закон сохранения энергии для произвольного положения груза:

$frac{mv^2}{2} + mgz + frac{k_d}{2} ( l_d + z )^2 + frac{k_u}{2} ( l_u - z )^2 = const ;$

Продифференцируем уравнение по времени:

$mvv'_t + mgz'_t + k_d ( l_d + z ) z'_t - k_u ( l_u - z ) z'_t = 0 ; || : z'_t$

$mv'_t + mg + k_d ( z + l_d ) + k_u ( z - l_u ) = 0 ;$

$mz''_t = k_u l_u - k_d l_d - mg -( k_d + k_u )z ;$

Заметим, что в начальном положении, действие всех сил скомпенсировано:

$k_u l_u - k_d l_d - mg = 0 ;$
(сила только верхней пружины положительна, т.к. направлена вверх)

Итак:

$mz''_t = -( k_d + k_u )z ;$

А такая зависимость силы от смещения – эквивалентна системе груза и одной пружины с жёсткостью, равной сумме исходных жёсткостей. Стало быть:

$T = 2 pi sqrt{ frac{m}{ k_d + k_u } } ,$    где    $m$    –  масса шарика.

$nu = frac{1}{2 pi} sqrt{ frac{ k_d + k_u }{m} } .$




ТРЕТИЙ СПОСОБ :::

Зафиксируем груз. Демонтируем нижнюю пружину. Прикрепим нижнюю пружину тоже свреху (!) груза, закрепив её на таком вертикальном расстоянии от груза, чтобы при отпускании груза – он остался бы в равновесии.

Сборка окажется эквивалентной, поскольку изначально верхняя пружина будет работать, как прежде. А перемещённая пружина при поднятии груза будет толкать груз вниз с таким же коэффициентом упругости, с которым она тянула бы его вниз, будучи снизу. С противоположным смещением – то же самое.

Обе пружины при такой эквивалентной сборке будут работать в параллельном режиме, как хорошо известно, с суммарной жёсткостью:

Итак:

$F = -( k_d + k_u )z ;$

$T = 2 pi sqrt{ frac{m}{ k_d + k_u } } ,$    где    $m$    –  масса шарика.

$nu = frac{1}{2 pi} sqrt{ frac{ k_d + k_u }{m} } .$




ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЁТ :::

$1$   Н/см   $= 100$   Н   $: 100$   см   $= 100$   Н   $: 1$   м   $= 100$   Н/м ;

$3$   Н/см   $= 300$   Н   $: 100$   см   $= 300$   Н   $: 1$   м   $= 300$   Н/м ;

Допустим, масса шарика равна 1 кг. Тогда:

$T = 2 pi sqrt{ frac{m}{ k_d + k_u } } approx 2 pi sqrt{ frac{1}{ 300 + 100 } } approx 0.314$   сек ;

$nu = frac{1}{2 pi} sqrt{ frac{ k_d + k_u }{m} } approx frac{1}{2 pi} sqrt{ frac{ 300 + 100 }{1} } approx 3.18$    Гц .

Answer 2

!!!

Answer 3

это превосходно, огромное спасибо))