Question

Решите систему. Но не методом подбора. Я и так знаю, что ответы 1, -1, 2

$x+y+z=2 \ x^{2} +y^2+z^2=6 \ x^{3} +y^3+z^3=8$

Answer 1

$left{begin{array}{ccc}x&+y&+z=2\x^2&+y^2&+z^2=6\x^3&+y^3&+z^3=8end{array}right$

Обозначим:
 
 
 $x+y+z=q_1,; xy+yz+xz=q_2; ,; xyz=q_3$  

Тогда

$x+y+z=q_1; ; ; (star )\\x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=q_1^2-2q_2; (star star )\\x^3+y^3+z^3=q_1^3-3q_1q_2+3q_3; ; ; (star star star )\\(star ); ; q_1=2; ,; ; \\(star star); ; ; 6=2^2-2q_2; ; to ; ; q_2=frac{4-6}{2}=-1\\(star star star ); ; ; 8=2^3-3cdot 2cdot (-1)+3q_3; ; to ; ; 8=8+6+3q_3; ,; q_3=-2$

Получаем систему уравнений:

$left{begin{array}{c}x+y+z=2&xy+yz+xz=-1&xyz=-2end{array}right$

По теореме Виета для кубического уравнения x³+q₁x²+q₂x+q₃=0 коэффициенты равны
q₁=-(x+y+z) ,  
q₂=xy+yz+xz
q₃=-xyz
Значит, решения последней  системы будут решениями кубического уравнения  u³-2u²-u+2=0 . 
(u³-u)+(-2u²+2)=0
u(u²-1)-2(u²-1)=0
(u²-1)(u-2)=0
(u-1)(u+1)(u-2)=0
u-1=0  ⇒  u=1
u+1=0  ⇒  u=-1  
u-2=0  ⇒  u=2

Значит,  будем иметь 6 решений сиcтемы:
 (1,-1,2) , (1,2,-1) , (-1,1,2) , (-1,2,1) , (2,1,-1) , (2,-1,1) .

Answer 2

У меня вопрос, при раскрывании кубических скобок, у меня получается (a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3ab2+3b2c+3ac2+3bc2+6abc Можешь указать на мою ошибку? (Если она есть)

Answer 3

Все, я понял.