Question

В прямоугольнике A B C D стороны A B = 21, A D = 20. Биссектриса угла A B D пересекает прямую C D в точке E, а биссектриса угла A D B пересекает прямую B C в точке F. Найдите квадрат длины отрезка E F.

Answer 1

AD || FC => ∠ADF = ∠DFB - как накрест лежащие 
∠ADF = ∠FDB 
Значит, ∠DFB = ∠BDF ⇒ ∆FBD - равнобедренный. Тогда FB = BD.
По теореме Пифагора:
$BD = sqrt{BC ^{2} + AB ^{2} } = sqrt{20 ^{2} + 21 ^{2} } = sqrt{400 + 441} = sqrt{841} = 29.$

AB||EC => ∠ABE = ∠DEB - как накрест лежащие.
∠ABE = ∠DBE
Значит, ∠DBE = ∠DEB => ∆DEB - равнобедренный. Тогда DE = DB = 29.

FC = FB + BC = 29 + 21 = 50.
EC = ED + DC = 29 + 20 = 49.
По теореме Пифагора:
$FE ^{2} = FC ^{2} + EC ^{2} = 50^{2}+ 49^{2} = 2500 + 2401 = 4901.$
Ответ: 4901.