Question

1.Периметр правильного треугольника,вписанного в окружность,равен 12 см.Найдите сторону правильного четырёхугольника ,вписанного в ту же окружность.
2.Найдите длину окружности ,если площадь вписанного в нее правильного четырехугольника равна 128 см2.
3.Найдите площадь кругового сектора,если градусная мера его дуги равна 135 градусов,а радиус круга равен 4 см.

Answer 1

1. сторона треугольника 4 см.  $R= frac{a}{ sqrt{3} }$
Радиус описанной окружности $R= frac{4}{ sqrt{3} }$
Правильный четырехугольник - это квадрат, диагональ которого является диаметром описанной окружности. Диагональ = $2* frac{4}{ sqrt{3} } = frac{8}{ sqrt{3} }$ см.
Сторона квадрата и его диагональ относятся как $1 : sqrt{2}$
Значит сторона квадрата равна$frac{8}{ sqrt{3} } : sqrt{2} = frac{8}{ sqrt{6} }$ см.

2. Если площадь вписанного квадрата 128 см^2 , то его диагональ равна $sqrt{2*128} = 16$ см. В то же время диагональ - радиус описанной окружности. Значит длина окружности равна $16 pi$

3. $S= frac{ pi R^{2} }{360^{o} } * alpha$ , где α - величина центрального угла сектора круга. $S= frac{ pi * 4^{2}}{360^{o}} *135^{o}=6 pi$ см^2