Question

решите дифференциальное уравнение и найдите частные решения, удовлетворяющие данным условиям
(√xy+√x)*y^,-y=0 если y=1 при x=1 (пояснения: корень из XY плюс корень из X умножить на производную Y минус Y равно 0)

Answer 1

$( sqrt{xy} + sqrt{x} )y'-y=0, sqrt{x} ( sqrt{y}+1)y'=y, frac{ sqrt{y}+1 }{y}y'= frac{1}{ sqrt{x} }$
$frac{ sqrt{y}+1 }{y} frac{dy}{dx} = frac{1}{ sqrt{x} }, frac{ sqrt{y}+1 }{y}dy=frac{1}{ sqrt{x} }dx,$
$intlimits^{}_{} frac{ sqrt{y}+1 }{y}, dy =intlimits^{}_{} frac{1}{ sqrt{x} }dx,$
1)$intlimits^{}_{} frac{ sqrt{y}+1 }{y}, dy= intlimits^{}_{} frac{ sqrt{y} }{y} dy+intlimits^{}_{} frac{1}{y} dy=intlimits^{}_{} frac{1}{ sqrt{y} } dy+intlimits^{}_{} frac{1}{y} dy=2 sqrt{y}+ln(y) +C_{1}$
2)$intlimits^{}_{} frac{1}{ sqrt{x} }dx=2 sqrt{x} +C_{2}$
Получаем
$2 sqrt{y}+ln(y) +C_{1}=2 sqrt{x} +C_{2},2 sqrt{y}+ln(y)=2 sqrt{x} +C,$
x=1, y=1 $2 sqrt{1}+ln(1)=2 sqrt{1} +C, C=2+0-2, C=0$
Ответ: $2 sqrt{y}+ln(y)=2 sqrt{x} +C$