Question

Найдите наименьшее отличное от полного квадрата натуральное число N такое, что десятичная запись числа √N   имеет вид: A,00... , (то есть, после запятой идут сначала два нуля, а потом любые цифры). Здесь A целая часть числа √N

Answer 1

Число √N можно записать в виде

$sqrt{N} = A + varepsilon,quad 0 textless varepsilon textless 0.01$

Тогда
$N = A^2+2varepsilon A + varepsilon^2\ (N-A^2) in mathbb{N}\\ 2varepsilon A + varepsilon ^2 = n in N\ n = varepsilon(2A+varepsilon) textless 0.01(2A+0.01) = A/50+0.0001\ A/50 textgreater n-0.0001$

Мы получили справедливую оценку на А снизу. Отметим, что наименьшее А возможно при наименьшем возможном n=1, и это A = 50
В свою очередь N = 50*50+1 = 2501

Проверим: √N ≈ 50.0099990001995. N не может быть меньше, согласно нашим оценкам