Question

решите 15 задание, пожалуйста

Answer 1

ОДЗ: x-2>0⇒x>2; x-2≠1⇒x≠3;
(x^2-4x+4)/(10-3x)=(x-2)^2/(10-3x)>0⇒x<10/3;
16x-20-3x^2= (10-3x)(x-2)>0 - следует из предыдущего исследования;
9x^2-60x+100=(3x-10)^2>0 - аналогично. Окончательно 
x∈(2;3)∪(3;10/3).
Пардон, мы еще не написали, что знаменатель ≠0. Отметим это, но доводить до это исследование не будем. Знаменатель остался знаменателем, так что все в порядке. Только пока не надо говорить, что полученные выше промежутки и есть ОДЗ. Перепишем наше неравенство в упрощенном варианте, использовав общеизвестные свойства логарифма и обозначив log_(x-2)(10-3x)через t. Числитель теперь равен
2(log_(x-2)(x-2)^2-log_(x-2)(10-3x))^2= 2(2-t)^2.
Знаменатель принимает вид
4-2(log_(x-2)(x-2)+log_(x-2)(10-3x))-(log_(x-2)(10-3x)^2)=
4-2(1+t)-2t=2-4t. Получили неравенство
2(2-t)^2/(2-4t)≤3; (2-t)^2/(1-2t)-3≤0;
(4-4t+t^2-3+6t)(2t-1)≥0; 
(t^2+2t+1)/(2t-1)≥0;
(t+1)^2/(2t-1)≥0; решаем методом интервалов, учитывая, что скобка (t+1) во второй степени, поэтому при переходе через (-1) знак не меняется 
(специалист, конечно, стал бы над нами издеваться, говоря, что ответ можно написать сразу, но мы же не претендуем на звание главного мозга Галактики). Кстати, то, что знаменатель не равен нулю мы сейчас и учтем, расставляя в нужном месте круглые скобки. Итак, получаем
t∈{-1}∪(1/2;+∞). Переходим к x:
t= - 1⇒log_(x-2)(10-3x)= - 1⇒10-3x=(x-2)^(-1);
(10-3x)(x-2)=1; -3x^2+16x-20-1=0; 3x^2-16x+21=0; после того, как я сосчитал тысячный дискриминант за свою жизнь, я его возненавидел, поэтому постараемся обойтись без него. Хитрый способ: домножаем уравнение на 3 и делаем замену 3x=p; p^2-16p+63=0, после чего легко раскладываем на множители:
(p-9)(p-7)=0; p=9 или p=7,откуда x=3 (не входит в ОДЗ) или x=7/3 -входит.

Второй случай: t>1/2; log_(x-2)(10-3x)>1/2; домножаем на 2 и заносим 2 в показатель:
log_(x-2)(10-3x)^2>1; Log_(x-2)(100-60x+9x^2)>log_(x-2)(x-2)

Поскольку мы живем в XXI веке, а не в XIX, решать по-старинке, рассматривая два случая, не хочется. Воспользуемся официально разрешенной схемой решения подобных неравенств:

                                         log_a b≥log_a c                 

равносильно на области допустимых значений (a>0; a≠1; b>0; c>0)
неравенству
  
                                              (a-1)(b-c)≥0.

Кто захочет - сам разберется, кто не захочет -запомнит схему без доказательства. 

Применяем схему для нашего неравенства:
(x-2-1)(100-60x+9x^2-x+2)≥0;
(x-3)(9x^2-61x+102)≥0

Чтобы разложить вторую скобку, опять применим "тайный способ":
домножаем на 9; замена 9x=q; q^2-61q+102·9=(q-27)(q-34). Как я это получил - спросите свою учительницу, она подскажет. Только уверяю Вас, никаких дискриминантов я не вычислял, только разложил свободный член на простые множители. Итак, q=27 или q=34; x=3 или x=34/9. Неравенство превращается в

(x-3)^2(x-34/9)≥0;  x∈{3}∪[34/9;+∞)
3 в ОДЗ не входит, второй промежуток тоже, так как 34/9>10/3=30/9

Ответ: 7/3              УФФФФФФ.....