Question

Задание № 7:

В окружность вписан равносторонний треугольник ABCABC. На дуге ACAC взята произвольная точка MM. Длины отрезков MAMA и MBMB соответственно равны 22 и 1010. Найдите длину MCMC.

Answer 1

Теорема косинусов для треугольника AМC

AC^2=AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC

 

Теорема косинусов для треугольника BМC

BC^2=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

 

AC=BC (треугольник равносторонний) Тогда AC^2=BC^2

 

AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

AM^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2-2*BM*CM*cosBMC

 

АМ и ВM знаем

22^2-2*22*CM*cosAMC=1010^2-2*1010*CM*cosBMC

484-44*CM*cosAMC=1020100-2020*CM*cosBMC

 

Углы ВМС и ВАС равны, опираются на одну дугу. ВАС=60 - равносторонний треугольник.

Угол АМС=АМВ+ВМС=АСВ+ВАС=60+60=120

 

484-44*CM*cos120=1020100-2020*CM*cos60

484-44*CM*(-1/2)=1020100-2020*CM*1/2

484+22*CM=1020100-1010*CM

988*CM=1019616

СМ=1032

 

Ответ: 1032