Question

Найдите S11 арифметич. прогрессии (An), если А6=15

Answer 1

$S_n=frac{a_1+a_n}{2}*n$
$a_n=a_1+(n-1)*d$
$S_{11}=frac{a_1+a_{11}}{2}*11=frac{11}{2}*(a_1+a_1+(11-1)*d)=$
$=frac{11}{2}(2a_1+10d)=11(a_1+5d)=11*(a_1+(6-1)*d)=11a_6=11*15=165$
ответ: 165

Answer 2

по свойству арифметической прогрессии 
$a_n= frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} =frac{a_{n-2}+a_{n+2}}{2} =frac{a_{n-3}+a_{n+3}}{2} =...=frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}$

Значит:

$a_6= frac{a_{5}+a_{7}}{2} =frac{a_{4}+a_{8}}{2} =frac{a_{3}+a_{9}}{2} =frac{a_{2}+a_{10}}{2} =frac{a_{1}+a_{11}}{2} =15$

следовательно, 
$a_{1}+a_{11}=a_{2}+a_{10}=a_{3}+a_{9}=a_{4}+a_{8}=a_{5}+a_{7}=30 \ \ a_1+a_2+a_3+...+a_{11}=a_{1}+a_{11}+a_{2}+a_{10}+a_{3}+a_{9}+a_{4}+a_{8}+ \ \ +a_{5}+a_{7}+a_6=30+30+30+30+30+15=30*5+15=165 \ \ OTBET: 165$