Question

Сколько корней имеет уравнение: |x+1+|−x−3||−6=x

Answer 1

$|x+1+|-x-3||-6=x \ |x+1+|-x-3||=x+6$
1. Выясним при каких х выполняется условие $x+1+|-x-3| geq 0$:
$left[begin{array}{l}-x-3 geq -x-1\-x-3 leq -x-1end{array} Rightarrow left[begin{array}{l}-3 geq -1\-x-3 leq x+1end{array} Rightarrow left[begin{array}{l}xin R\-2x leq 4end{array} Rightarrow x geq -2$
Раскрываем модуль при этом условии:
$x+1+|-x-3|=x+6 \ |-x-3|=5 \ left[begin{array}{l}-x-3=5\-x-3=-5end{array} Rightarrow left[begin{array}{l}-x=8\-x=-2end{array} Rightarrow left[begin{array}{l}x=-8\x=2end{array}$
Корень $x=-8$ не удовлетворяет условию, при котором раскрыт модуль.
Первый корень: $x_1=2$
2. Раскрываем модуль при условии $x+1+|-x-3| textless 0$, то есть при $x textless -2$:
$x+1+|-x-3|=-x-6 \ |-x-3|=-2x-7$
Раскрываем слудующий модуль при условии $-x-3 geq 0$, то есть при $x leq -3$:
$-x-3=-2x-7 \ x=-4$
Второй корень: $x_2=-4$
Раскрываем второй модуль при условии $-x-3 textless 0$, то есть при $-3 textless x textless -2$:
$-x-3=2x+7 \ -3x=10 \ x=- frac{10}{3}$
Полученный корень не удовлетворяет условию, при котором раскрыт модуль.
Итого, уранвение имеет два корня: 2 и -4.
Ответ: два корня