Question

Нужна помощь в решении показательного уравнения

Answer 1

1 способ решения: (свойство монотонности функций)
ОДЗ: 
2+х≥0   ⇒  х≥-2

$x^2+4x+2^{sqrt{2+x}}+3=0 \ x^2+4x+4-1+2^{sqrt{2+x}}=0\ (x+2)^2-1=-2^{sqrt{2+x}}$

Графиком функции: 
$y=(x+2)^2-1$
является парабола с вершиной в точке (-2;-1). Учитывая ОДЗ: x≥-2
Функция монотонно возрастает на промежутке [-2;+∞)

$y=-2^{sqrt{2+x}}$
является монотонно убывающей функцией.

Если возрастающая функция равна убывающий, то уравнение имеет только один корень (если он есть)
Для таких задач корень находится подбором.
Если в исходном уравнении сумма чисел равна нулю, то корень (если он существует) будет отрицательный.
Нетрудно догадаться, что x=-2 (нужно было подобрать такой x, чтобы корень в показателе степени извлекся)

Ответ: -2

2 способ: (метод ограниченности функций)

$x^2+4x+2^{sqrt{2+x}}+3=0 \ x^2+4x+4-1+2^{sqrt{2+x}}=0\ (x+2)^2-1=-2^{sqrt{2+x}}$

так как левой частью уравнения является парабола с вершиной (-2;-1) и ветви параболы направленны вверх, то область ее значения
 E(y)=[-1;+∞)

Найдем область значения правой части:

$sqrt{2+x} geq 0 \ \ 2^{ sqrt{2+x}} geq 2^0 \ \ 2^{ sqrt{2+x}} geq 1 |*(-1) \ \ -2^{ sqrt{2+x}} leq -1$

получилось так, что левая часть уравнения ≥-1, а правая≤-1
Если обе эти части равны, значит они одновременно равны -1 (в любом другом случае корней нет)

$left { {{(x+2)^2-1=-1} atop { -2^{sqrt{2+x}}=-1}} right. \ \ left { {{(x+2)^2=0} atop { 2^{sqrt{2+x}}=1}} right. \ \ left { {{x+2=0} atop { 2^{sqrt{2+x}}=2^0}} right. \ \ left { {{x=-2} atop { sqrt{2+x}=0}} right. \ \ left { {{x=-2} atop {x=-2}} right. = textgreater x=-2 \ \ OTBET: -2$