Question

Дифференциальное уравнение:xy''=y'ln(y'/x)

Answer 1

$xy''=y'cdot lnfrac{y'}{x}\\y'=p(x); ,; ; y''=p'(x)\\xcdot p'=pcdot lnfrac{p}{x}\\p'=frac{p}{x}cdot lnfrac{p}{x}\\u=frac{p}{x}; ,; ; p=ux; ,; ; p'=u'x+u\\u'x+u=ucdot lnu\\u'x=ucdot lnu-u \\frac{du}{dx}cdot x=ucdot (lnu-1)\\int frac{du}{ucdot (lnu-1)}=int frac{dx}{x}\\int frac{d(lnu-1)}{lnu-1}=int frac{dx}{x}; ,; ; ; [; int frac{dt}{t}=ln|t|+C; ,; t=lnu-1; ]\\ln|lnu-1|=ln|x|+lnC_1\\lnu-1=C_1x\\lnu=C_1x+1$

$u=e^{C_1x+1}; ; to ; ; ; frac{p}{x}=frac{y'}{x}=e^{C_1x+1}$

$y'=xcdot e^{C_1x+1}\\int dy=int xcdot e^{C_1x+1}, dx\\star ; ; u=x;, ; du=dx; ,; dv=e^{C_1x+1}, dx; ,; v=frac{1}{C_1}cdot e^{C_1x+1}; ,\\int ucdot dv=uv-int vcdot du; ; star$

$int dy=frac{x}{C_1}cdot e^{C_1x+1}-frac{1}{C_1}cdot int e^{C_1x+1}, dx\\y=frac{x}{C_1}cdot e^{C_1x+1}-frac{1}{C_1^2}cdot e^{C_1x+1}+C_2$