Question

найти диагональ прямоугольника наибольшей площади вписанного в прямоугольный треугольник с катетами 18 и 24 и имеющего с ним общий прямой угол

Answer 1

Решение: 
Введем обозначения: 
АВС - данный треугольник, угол С=90, ВС=24; АС=18, СКТМ - вписанный четырехугольник, К лежит на стороне ВС, Т-на гипотенузе. 
Обозначим СК=х, тогда в силу подобия треугольников КВТ и СВА имеем: 
ВС/ВК=СА/КТ 
КТ=18*(24-х)/24=3/4*(24-х) 
Найдем площадь полученного четырехугольника: 
S(x)=CK*KT=3x/4*(24-x)=(72x-3x²)/4 
Исследуем получаенную функцию S(x) на экстремум: 
S'(x)=18-3x/2; S'(x)=0 
18-3x/2=0 
x=12 
Тогда КТ=9 
d=√(144+91)=15