Question

Как можно преобразовать cos(2x)-cos(4x) = 1 в 2cos^2 (2x) - cos(2x) = 0
Я уже все формулы перепробовал, что-то у меня не выходит, помогите пожалуйста.

Answer 1

Выведем одну из часто используемых формул. Конечно, её сразу можно применить и всё будет легко и просто преобразовать. На будущее, применяйте её сразу, это облегчит решение многих примеров.
Формула:   
                           $cos^2x=frac{1-cos2x}{2}$  .
Решение:

$cos2x=cos^2x-sin^2x=cos^2x-(1-cos^2x)=2cos^2x-1; ; Rightarrow \\star ; ; ; ; ; ; ; ; boxed{cos2x=2cos^2x-1}\\star star ; ; ; ; ; ; boxed{2cos^2x=1+cos2x}; ; ; ; ; Rightarrow \\star star star ; ; ; boxed{cos^2x=frac{1+cos2x}{2}}$

Как видно, это одна и та же формула, просто выражены либо $cos^2x$  , либо $cos2x$  .  Формулу  (***) часто называют формулой трёх двоечек ( в этой формуле записано три 2) .
 Пример.

$cos2x-cos4x=1quad Rightarrow \\cos2x=underbrace {1+cos4x}_{2cos^22x}\\cos2x=2cos^22x\\cos2x-2cos^22x=0\\cos2xcdot (1-2cos2x)=0\\a); ; cos2x=0; ; to ; ; 2x=frac{pi}{2}+pi n,; nin Z\\x=frac{pi}{4}+frac{pi n}{2},; nin Z\\b); ; cos2x=frac{1}{2}; ; to ; ; 2x=pm frac{pi}{3}+2pi m,; min Z\\x=pm frac{pi}{6}+pi m,; min Z$

P.S.  Аналогично можно получить вторую формулу "трёх двоечек":

                         $sin^2x=frac{1-cos2x}{2}$