Question

высота BH ромба ABCD пересекает диагональ AC в точке O AB=BD . Периметр ромба равен 24 см. Вычислите длину радиуса окружности описанной около треугольника BOD

Answer 1

Ответ:

R = 2√3 см

Пошаговое объяснение:

Смотри прикреплённый рисунок.

Сторона ромба а = Р : 4 = 24 : 4 = 6 (см)

Поскольку меньшая диагональ ромба BD=АВ (стороне ромба), то ΔАВD  равносторонний.

Найдём высоты ВН и АК правильного треугольника АВD

ВН = АК = а · sin 60° = 0.5a√3 = 0.5 · 6 · √3 = 3√3 (см)

Высоты правильного треугольника (они же и медианы) точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника, поэтому ВО = АО = DO = 2/3 · BH = 2/3 · 3√3 = 2√3 (см),

а ОН = ОК = 1/3 · ВН = 1/3 · 3√3 = √3 (cм).

В треугольнике BOD нам известны стороны

ВD = 6cм, ВО = DO = 2√3 см и высота ОК = √3см.

Площадь ΔBOD равна $displaystyle S_{BOD} = 0.5 cdot BD cdot OK = 0.5 cdot 6 cdot sqrt{3} = 3sqrt{3}$ (см²)

Радиус окружности, описанной вокруг ΔВОD равен

$displaystyle R = frac{BO cdot DO cdot BD}{4S_{BOD} }= frac{2sqrt{3} cdot 2sqrt{3}cdot 6 }{4cdot 3sqrt{3} } = 2sqrt{3}~(cm)$