Question

Помогите с третьим интегралом,с помощью замены

Answer 1

$int , frac{lnx}{xcdot sqrt{1+lnx}}dx=[; t^2=1+lnx; ,; lnx=t^2-1; ,; x=e^{t^2-1}; ,\\dx=e^{t^2-1}}cdot 2t, dt; ,; t=sqrt{1+lnx}; ; ]=int frac{(t^2-1)cdot e^{t^2-1}cdot 2t, dt}{e^{t^2-1}cdot sqrt{t^2}} =\\=int frac{(t^2-1)cdot 2t, dt}{t}=2cdot int (t^2-1)dt=2cdot (frac{t^3}{3}-t)+C=\\=2cdot (frac{sqrt{(1+lnx)^3}}{3}-sqrt{1+lnx})+C$