Question

Даны вершины треугольника АВС,А (4;6),В (-4;0),С (-1;-4).Составить уравнение высоты ,опущенной из вершины А на сторону ВС ,найти длину этой вершины.

Answer 1

Даны координаты вершин А (4;6),В (-4;0),С (-1;-4).
Уравнение стороны ВС: (х+4)/(-1+4) = (у-0)/(-4-0),
(х+4)/3 = у/-4, каноническое уравнение
4х+3у+16 = 0 это же уравнение общего вида,
у =(-4/3)х-(16/3) уравнение с коэффициентом.

Уравнение высоты из вершины А имеет коэффициент перед х, равный -1/(-4/3) = 3/4.
Уравнение у = (3/4)х+в.
Для определения в подставим известные координаты точки А на этой прямой: 6 = (3/4)*4+в,
в = 6-3 = 3.
Уравнение высоты у = (3/4)х+3.
Длину высоты можно найти, определив координаты её основания как точки пересечения стороны ВС и высоты.
Или через площадь: h = 2S/BC.

Расчет длин сторон. 
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √100 = 10.
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √25 = 5.
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √125 = 11,18033989. 

Как видим по квадратам сторон - треугольник прямоугольный.
Высота из точки А на сторону ВС - это катет АВ = 10.