Question

Помогите, пожалуйста, с алгеброй.

Answer 1

Для нахождения точек максимума и минимума найдем первую производную функции и приравняем ее к нулю.
3а. y'(x)=3x²-4x+1
    3x²-4x+1=0
    D=4
     $x1= frac{1}{3}$;
     x2=1
Нанесем эти точки на числовую прямую, получим три промежутка, подставим выборочные значения из каждого промежутка в производную и посмотрим как себя ведет функция.
Получаем: при $x textless frac{1}{3}$ знак производной "+";
при $frac{1}{3} textless x textless 1$ знак производной "-";
при x>1 знак производной "+". Из этого делаем вывод: в точке максимума производная равна нулю и меняет знак с "+" на "-", т.е. точка 1/3 точка максимума; в точке минимума производная равна нулю и меняет знак с "-" на "+" т.е. точка 1 является точкой минимума.

3б.$y'(x)=e^{x}(2x-3)+2e^{x}=e^{x}(2x-1)$
 $e^{x}(2x-1)=0$
$e^{x} neq 0$;
2x-1=0 ⇒ x=0,5
Так же как и в предыдущей задаче наносим точку на числовую прямую и смотрим как меняется знак производной.
При x<0,5 получаем "-"; при x>0,5 получаем "+".
В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с "-" на "+" т.е. точка 0,5 является точкой минимума.

4. Мы имеем четыре точки в которых производная меняет знак -2;2;4;6
 В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с "-" на "+" т.е. точки -2 и 4 являются точками минимума.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с "+" на "-", т.е. точки 2 и 6  - точки максимума

Answer 2

y=x³-2x²+x+3
найдем первую производную
у¹=3х²-4х+1
приравняем ее к 0
3х²-4х+1=0
D=16-12=4 √D=2
х₁=(4+2)/6=1
х₂=(4-2)/6=1/3 
найдем значение функци в этих точках
у(1)=1³-2*1²+1+3=3
у(1/3)=(1/3)³-2*(1/3)²+1/3+3=85/27
найдем вторую производную
у¹¹=6х-4
найдем ее значение в точках 1 и 1/3
у¹¹(1)=6*1-4=2 >0 значит это минимум
у¹¹(1/3)=6*1/3 -4=-2 <0 значит это максимум
Ответ:(1;3)- точка минимума ф-ции,(1/3; 85/27)-точка максимума ф-ции

--------------------------------------------------------------------------------

у=еˣ(2х-3)
найдем первую производную
у¹=(2х-3)*еˣ+2еˣ=(2х-1)еˣ
приравняем к 0
(2х-1)еˣ=0
еˣ≠0
2х-1=0
х=1/2
найдем значение функции 
у(1/2)=(2* 1/2 - 3)*е¹/₂=-2е¹/₂
найдем вторую производную
у¹¹=(2х-1)еˣ+2еˣ=(2х+1)еˣ
найдем ее значение при х= 1/2
у¹¹(1/2)=(2* 1/2 +1)*е¹/₂=2е¹/₂ >0 значит это  минимум
Ответ:(1/2; -2е¹/₂ ) - точка минимума функции
-------------------------------------------------------------------------------
найдем точки пересечения с осью ох (в них значение производной равно 0) и в которой  функция менияе свой знак с - на + это и будут точки минимума , на нашем графике  таких точек две - при х=-2; х=4