Question

Решите уравнение 1) 2cos^2x+cosx-1=0 2)4sin^2+11sinx-3=0 3)V3 tgx - V3 ctgx=2 4) sin2x+V3 cos2x=1

Answer 1

1)$2cos^2x+cosx-1=0\cosx=t;-1leq tleq1\2t^2+t-1=0\D=1+8=9\x_{1}=frac{-1+3}{4}=frac{1}{2}\x_{2}=frac{-1-3}{4}=-1\cosx=frac{1}{2} cosx=-1\x=+-arccosfrac{1}{2}+2pi*n x=+-(pi-arccos1)+2pi*k\x=+-frac{pi}{3}+2pi*n x=+-(pi-0)+2pi*k\x=+-frac{pi}{3}+2pi*n x=+-pi+2pi*k$

n и k принадлежат Z.

 

2. $4sin^2x+11sinx-3=0\sinx=t;-1leq tleq1\4t^2+11t-3=0\D=121+48=169\x_1=frac{-11-13}{8}=-3\x_2=frac{-11+13}{8}=frac{1}{4}\sinx=frac{1}{4}\x=(-1)^n*arcsinfrac{1}{4}+pi*n$

n принадлежит Z. -3 исключаем т.к. неуд. условию.

 

3.$sqrt{3}tgx-sqrt{3}ctgx=2\sqrt{3}tgx-frac{sqrt{3}}{tgx}=2\tgx=t\sqrt{3}t-frac{sqrt{3}}{t}=2\sqrt{3}t^2-2t-sqrt{3}=0\D=4+4*sqrt{3}*(-sqrt{3})=4+4*3=16\t_1=frac{2+4}{2sqrt{3}}=frac{3}{sqrt{3}}=sqrt{3}\t_2=frac{2-4}{2sqrt{3}}=-frac{1}{sqrt{3}}\tgx=sqrt{3} tgx=-frac{1}{sqrt{3}}\x=arctg(sqrt{3})+pi*n x=arctg(-frac{1}{sqrt{3}})+pi*k\x=frac{pi}{3}+pi*n x=-frac{pi}{6}+pi*k$

n и k принадлежат Z. 

 

4.Напишу 2 способа. 1 долгий и нудный. 2рой лёгкий(введение вспомогательного угла)

1)$sin2x+sqrt{3}cos2x-1=0\2sinx*cosx+sqrt{3}cos^2x-sqrt{3}sin^2x-sin^2x-cos^2x=0\frac{2sinx*cosx}{cos^2x}+sqrt{3}frac{cos^2x}{cos^2x}-sqrt{3}frac{sin^2x}{cos^2x}-frac{sin^2x}{cos^2x}-frac{cos^2x}{cos^2x}=0\2tgx+sqrt{3}-sqrt{3}tg^2x-tg^2x-1=0\sqrt{3}tg^2x+tg^2x-2tgx+1-sqrt{3}\tg^2x(sqrt{3}+1)-2tgx+(1-sqrt{3})=0\tgx=t\t^2(sqrt{3}+1)-2t+(1-sqrt{3})=0\D=4-4*(1+sqrt{3})(1-sqrt{3})=4-4*(1-3)=4+8=12\sqrt{D}=sqrt{12}=2sqrt{3}\x_1=frac{2+2sqrt{3}}{2(sqrt{3}+1)}=1$

$x_2=frac{2-2sqrt{3}}{2(sqrt{3}+1)} =frac{2(1-sqrt{3})}{2(1+sqrt{3})}=frac{(1-sqrt{3})(1-sqrt{3})}{(1+sqrt{3})(1-sqrt{3})}=frac{(1-sqrt{3})^2}{1-3}=\=frac{1-2sqrt{3}+3}{-2}=frac{4-2sqrt{3}}{-2}=sqrt{3}-2$

$tgx=1 tgx= sqrt{3}-2\x=frac{pi}{4}+pi*n x=arctg(sqrt{3}-2})+pi*k$

2)$sin2x+sqrt{3}cos2x=1\R=sqrt{(1)^2+(sqrt{3})^2}=sqrt{4}=2\frac{1}{2}sin2x+frac{sqrt{3}}{2}cos2x=frac{1}{2}\cosfrac{pi}{6}*sin2x+sinfrac{pi}{6}*cos2x=frac{1}{2}\sin(frac{pi}{6}+2x)=frac{1}{2}\frac{pi}{6}+2x=(-1)^n*frac{pi}{6}+pi*n\x=(-1)^n*frac{pi}{12}+frac{pi*n}{2}-frac{pi}{12}$

Зря наверно 1 способ писал)) 

Answer 2

Во вложении

----------------------------------------------