Question

Помогите решить логарифмические неравенства
1) $Log^{2}_{0,5} (-log_{3} x) - log_{0,5} (log^{2}_{3} x) leq 3 2) Log_{|x-1|} (x-2)^{2} leq 2$2)

Answer 1

1) Область определения $-log_{3}x textgreater 0, log_{3}x textless 0, x textless 1, x textgreater 0, 0 textless x textless 1$
Обозначим: $- log_{3} x=q,$
тогда $Log_{0,5}^2(q) - Log_{0,5}( q^{2} ) leq 3, Log_{2^{-1}}^2(q) - Log_{2^{-1}}( q^{2} ) leq 3,$
$(-Log_{2}(q))^{2} +Log_{2}( q^{2} ) leq 3, (Log_{2}(q))^{2} +2Log_{2}( q) leq 3,$
$(Log_{2}(q))^{2} +2Log_{2}( q) -3 leq 0, (Log_2(q) +3)(Log_2(q)-1) leq 0,$
рисуем интервалы
-∞___+____-3___-___1___+___+∞
$-3 leq Log_{2}(q) leq 1,$
1. $Log_{2}q geq -3, q geq 2^{-3} , q geq frac{1}{8}$
    $- log_{3} x geq frac{1}{8} ,log_{3} x leq - frac{1}{8} ,x leq 3^{- frac{1}{8} }$
2. $log_2{q} leq 1, q leq 2$
    $- log_{3}x leq 2, log_{3}x geq -2,x geq 3^{-2}, x geq frac{1}{9}$ 
Ответ:  
$frac{1}{9} leq x leq 3^{- frac{1}{8}$

2) $Log_{|x-1|}(x-2)^2 leq 2,$
Область определения: 
$|x-1| neq 0, |x-1| neq 1, (x-2) neq 0, x neq 0, x neq 1, x neq 2$
получаем область определения: x∈(-∞;0)∪(0;1)∪(1;2)∪(2;+∞)
1. 0<|x-1|<1, x∈(0;1)∪(1;2) основание логарифма меньше 1,
$Log_{|x-1|}(x-2)^{2}leq 2, Log_{|x-1|}(x-2)^{2} leq Log_{|x-1|}(x-1)^{2},$
$(x-2)^{2} geq (x-1)^{2}$
$x^2-4x+4 qeq x^2-2x+1, 2x-3 leq 0, x leq 3/2$,
Учитывая условие x∈(0;1)∪(1;2), получаем : x∈(0;1)∪(1;3/2].
2. 1<|x-1|, x∈(-∞;0)∪(2;+∞), основание логарифма больше 1,
$Log_{|x-1|}(x-2)^{2}leq 2,log_{|x-1|}(x-2)^{2} leq log_{|x-1|}(x-1)^{2},$
$(x-2)^{2}leq (x-1)^{2}$
$x^2-4x+4 leq x^2-2x+1,2x-3 geq 0, 2x geq 3, x geq 3/2 ,$ 
Учитывая условие x∈(-∞;0)∪(2;+∞) , получаем: x∈(2;+∞).
ответ: x∈(0;1)∪(1;3/2]∪(2;+∞)