Question

Диагонали четырехугольника взаимноперпендикулярны. Докажите, что суммы квадратов его противоположных сторон равны.

Answer 1

Обозначим четырехугольник АВСD, пусть O - точка пересечения диагоналей.
Все получившиеся треугольники АВО, ВСО, СDO, DOA - прямоугольные.
По теореме Пифагора:
АВ^2=AO^2+BO^2,
BC^2=BO^2+CO^2,
CD^2=CO^2+DO^2,
AD^2=AO^2+DO^2.
Отсюда следует, что
АВ^2+CD^2=BC^2+AD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2.