Question

Будьте добры! Помогите решить неопределенный интеграл. Буду очень благодарна!

Answer 1

Сначала делаем так:
$intlimits { frac{x^2}{ sqrt{4-x^2} }} , dx =- intlimits { frac{4-x^2-4}{ sqrt{4-x^2}} } , dx =-( intlimits {{ frac{4-x^2}{ sqrt{4-x^2}} }}dx- 4intlimits { frac{1}{sqrt{4-x^2}} } , dx )= \ =4 intlimits { frac{dx}{sqrt{4-x^2}} } , - intlimits { sqrt{4-x^2} } , dx$
С первым интегралом все просто, он табличный и равен $4arcsin frac{x}{2} +c_1$
Второй интеграл будем брать по частям:
$u= sqrt{4-x^2} \ du= frac{-x}{ sqrt{4-x^2} } \ dv=dx \ v=x \ intlimits {udv} , =uv- intlimits {vdu} \ intlimits sqrt{4-x^2} , dx =xsqrt{4-x^2}+ intlimits frac{x^2}{ sqrt{4-x^2} } dx , +c_2$
Тогда исходный интеграл равен:
$intlimits frac{x^2}{ sqrt{4-x^2} } dx=4arcsin frac{x}{2} +c_1- xsqrt{4-x^2}- intlimits frac{x^2}{ sqrt{4-x^2} } dx , -c_2$
Делаем следующее:
$2intlimits frac{x^2}{ sqrt{4-x^2} } dx=4arcsin frac{x}{2} - xsqrt{4-x^2}+c_3 \ intlimits frac{x^2}{ sqrt{4-x^2} } dx=2arcsin frac{x}{2}- frac{1}{2} xsqrt{4-x^2}+C$
Это ответ.