Question

Помогите пожалуйста решить интеграл:
integral(dx/(4cosx+3sinx))
Решается способом универсальной тригонометрической подстановки.

Answer 1

$int frac{dx}{4cosx+3sinx}=[, t=tgfrac{x}{2}; ,; sinx=frac{2t}{1+t^2}; ,; cosx=frac{1-t^2}{1+t^2}; ,\\x=2arctgt; ,; dx=frac{2, dt}{1+t^2}; ]=\\=int frac{2, dt}{(1+t^2)left (4cdot frac{1-t^2}{1+t^2}+3cdot frac{2t}{1+t^2}right )} =int frac{2, dt}{4-4t^2+6t} =int frac{dt}{-(2t^2-3t-2)}=\\=-frac{1}{2}int frac{dt}{t^2-frac{3}{2}t-1}=-frac{1}{2}int frac{dt}{(t-frac{3}{4})^2-frac{9}{16}-1} =-frac{1}{2}int frac{dt}{(t-frac{3}{4})^2-frac{25}{16}}=$

$=- frac{1}{2}cdot frac{1}{2cdot frac{5}{4}} cdot lnleft | frac{t-frac{3}{4}-frac{5}{4}}{t-frac{3}{4}+frac{5}{4}} right |+C=-frac{1}{5}cdot lnleft |frac{tgfrac{x}{2}-2}{tgfrac{x}{2}+frac{1}{2}}right |+C=\\=-frac{1}{5}cdot lnleft |frac{2tgfrac{x}{2}-4}{2tgfrac{x}{2}+1}right |+C$