Question

Найдите натуральное число n, для которого выполняется равенство
(c объяснением):
$frac{4 ^{3}-1 }{4 ^{3}+1 } * frac{5 ^{3}-1 }{5 ^{3}+1 } *...* frac{ n^{3}-1 }{n^{3}+1 } = frac{3906}{4225}$

Answer 1

$A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$
$A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$
---------
$frac{4^3-1}{4^3+1}*frac{5^3-1}{5^3+1}*...*frac{n^3-1}{n^3+1}=$
$frac{(4-1)*(4^2+4*1+1^2)*(5-1)*(5^2+5*1+1)*....*(n-1)(n^2+n*1+1^2)}{(4+1)*(4^2-4*1+1^2)*(5+1)*(5^2-5*1+1)*....*(n+1)(n^2-n*1+1^2)}=$
$frac{(4-1)*(5-1)}{(n-1)+1)(n+1}*frac{(6-1)*(7-1)*...*(n-1)}{(4+1)*(5+1)*....((n-2)+1)}$*
$*frac{(4*(4+1)+1)(5*(5+1)+1)*(6*(6+1)+1)*...*(n(n+1)+1)}{4*(4-1)+1)*(5*(5-1)+1)*...*(n(n-1)+1)}=$
$frac{3*4}{n(n+1)}*$
$*frac{(4*5+1)(5*6+1)*(6*7+1)*(7*8+1)*...*(n(n+1)+1)}{(3*4+1)(4*5+1)*(5*6+1)*(6*7+1)*....*((n-1)n+1)}=$
$frac{3*4}{n(n+1)}*frac{n(n+1)+1}{3*4+1}*frac{(4*5+1)*(5*6+1)*,,,*((n-1)n+1)}{(4*5+1)*(5*6+1)*...*((n-1)n+1)}=$
$frac{12(n^2+n+1)}{13(n^2+n)}$
===========================
$frac{12(n^2+n+1)}{13(n^2+n)}=frac{3906}{4225}$
$frac{n^2+n+1}{n^2+n}=frac{3906*13}{4225*12}$
$1+frac{1}{n^2+n}=frac{651}{325*2}$
$1+frac{1}{n^2+n}=frac{651}{650}=frac{650+1}{650}=1+frac{1}{650}$
$frac{1}{n^2+n}=frac{1}{650}$
$n^2+n=650$
$n^2+n-650=0$
$D=1^2-4*1*(-650)=2601=51^2$
$n_1=frac{-1-51}{2*1}<0$ - не подходит (n должно быть натуральным)
$n_2=frac{-1+51}{2*1}=25$
$n=25$
ответ: 25