Question

Найти область сходимости степенного ряда:

Вариант 1:
∞
∑ хⁿ÷n×3ⁿ
ⁿ=1

Answer 1

По признаку Даламбера, если
$lim_{n to infty} frac{a_{n+1}}{a_n} textless 1$
То ряд сходится.
$lim_{n to infty} ( frac{x^{n+1}}{(n+1)*3^{n+1}}: frac{x^n}{n*3^n} )= lim_{n to infty} ( frac{x^{n+1}}{x^n}* frac{n}{n+1}* frac{3^n}{3^{n+1}})$
Разберем эти дроби по отдельности
$lim_{n to infty} frac{x^{n+1}}{x^n}* lim_{n to infty}frac{n}{n+1}* lim_{n to infty}frac{3^n}{3^{n+1}}=x*1* frac{1}{3} = frac{x}{3} textless 1$
Очевидно, x < 3. Радиус сходимости равен 3. x ∈ [-3;3]